Ik heb een correct en veel mooier bewijs voor generalisaties gevonden!
1) Eerst maken we twee regels. De eerste is: Is een getal even? Deel het dan door twee.
De tweede is: Is een getal oneven? vermenigvuldig het dan met a en tel er b bij op
2)--Laat
de set zijn van alle getallen die oplosbaar zijn in x of minder stappen
--Laat f(x) het aantal getallen zijn oplosbaar in exact x stappen.
--Laat
de verhouding zijn tussen het aantal machten van 2 in
en
--Laat h(x) het aantal machten van 2 in de set x zijn.
--Laat A de gemiddelde verhouding zijn tussen f(x) en f(x-1). We zien dat:
})
(elke a heeft een andere A)
Als alle getallen oplosbaar zijn dan:
Omdat de regel is dat je een even getal door 2 moet delen, zijn x van de getallen in
machten van 2.
=x)
=log_2(c*A^x))
Dus:
})
We kunnen ons echter afvragen waarom
>h(\mathbb{N}_{c*A^x}))
Dit komt omdat machten van 2 sneller kunnen worden opgelost dan andere getallen en
is gemiddeld hoeveel keer sneller. Dan blijkt dat er nog een andere manier is om
te noteren.
Al de elementen in
zijn oplosbaar in x stappen
Het andere deel,
, is gemiddeld oplosbaar in
stappen.
dus:
+\frac{V_{x-1}}{A})
We kunnen de twee formules voor
(waarvan de eerste alleen waar is als het an+b vermoeden waar is en fout als het vermoeden niet klopt) combineren:
+\frac{x-1}{A(log_2(c*A^{x-1}))})
Deze formule kunnen we weer combineren met de eerste.
}=x(1-\frac{1}{A})+\frac{x-1}{A(log_2(c*A^{x-1}))})
Deze vergelijking is alleen waar als het an+b vermoeden waar is en alleen niet waar wanneer dat niet zo is.
, waarbij
alle natuurlijke getallen tot en met x bevat en x naar oneindig gaat.
