Poging het vermoeden van Collatz te bewijzen

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door David » 15 jul 2015, 12:23

Mastrem schreef:
(Alleen bij een limiet naar oneindig zijn ze hetzelfde, maar hoe hoger x komt, hoe dichter ze bij elkaar in de buurt komen, onthoudt dat als je het onderstaande stuk leest)
Kan je specifieker zijn over "hoe dichterbij" door dat te kwantificeren?[/quote]
Mastrem schreef:
A is dus de gemiddelde verhouding tussen f(x) en f(x-1)
(Dat is het geometrisch gemiddelde van die verhoudingen)
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 12:35

Wat we zien, is dat

Wat dus betekent dat g(x) telkens 1.264 keer zo groot wordt, als x eentje groter wordt. 1.264 is volgens mij ook ongeveer de waarde van A.

Ik weet dat dat het geometrische gemiddelde is, maar dat heb ik ook nodig als je ziet hoe ik A later gebruik.

Ik snap niet helemaal hoe je uitkomt op

aangezien

en A tussen de grootst mogelijke verhouding (2) en de kleinst mogelijke verhouding(1) ligt.
Zou je dat gedeelte dus wat kunnen verduidelijken?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door David » 15 jul 2015, 12:46

Mastrem schreef:Ik weet dat dat het geometrische gemiddelde is
"gemiddelde", zonder te noemen welke is meestal het rekenkundig gemiddelde. Ik wilde noemen dat het om het geometrisch gemiddelde gaat. Dat je dat gebruikt is okay.
Je schreef:Ik snap niet helemaal hoe je uitkomt op
Typo. Moet zijn
We hadden al f(x) = c * 1.264^x voor een positieve c. Dit geeft (wat de waarde ervan ook is) dat A = 1.264 in plaats van 2.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 12:48

Inderdaad. Ik wist alleen niet of het bewezen was dat A = 1.264 en daarom bewees ik in deel 2 dat A < 2, wat genoeg is.

maar wat denk je van het eerste gedeelte (waarin ik probeer te bewijzen dat het vermoeden impliceert dat g(x) = 2^x)?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door David » 15 jul 2015, 12:56

Ik denk dat het gebruik van de cardinaliteit ('lengte') van N gevaarlijk is. |N| = |N \ {1,2,3}|
Een eindig aantal elementen uit N halen, veranderd die grootte niet. Zelfs een oneindig aantal elementen hoeft niet te betekenen dat de cardinaliteit veranderd. Bijv. stel dat je de oneven getallen eruit haalt. Dan blijf je over met 2N, met dezelfde cardinaliteit.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 13:07

Zou ik dan beter het volgende kunnen zeggen?

Als:

En komt steeds dichter bij naarmate x groeit, dan komt de distributie van veelvouden van elk getal m ook steeds dichter bij 1/m (dus half de getallen in is deelbaar door 2, een derde door 3 etc). Dit zou betekenen dat de distributie van machten van 2 in ook steeds dichter komt bij die in .

We weten dat
En als de distributie van machten van 2 in steeds dichterbij komt van die in , naarmate x groeit, dan komt ook steeds dichter bij (g(x) is ook de lengte van ).

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door David » 15 jul 2015, 13:41

Is het wel zo te zeggen dat de verdeling van veelvouden van m in G(x) dichter komt bij de verdeling van veelvouden van m in N? Dat vind ik niet overduidelijk.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 13:50

Stel dat het vermoeden waar is. dan zijn er voor elk veelvoud van pq dat kan worden opgelost p veelvouden van q die kunnen worden opgelost (inclusief de veelvouden van pq) aangezien al deze verhoudingen hetzelfde zijn, moet het gedeelte van wat deelbaar is door m 1/m zijn.

Voorbeeld: voor elke 4 veelvouden van 3 in , zijn er 6 veelvouden van 2 in . aangezien al deze verhoudingen tussen de distributies van verschillende m's gelijk zijn aan die in , is het gedeelte van dat een veelvoud van m is, 1/m

als de verhouding tussen, zeg de veelvouden van 2 en 3, groter dan 2/3 is, zijn er of te veel veelvouden van 2, of te weinig veelvouden van 3.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door David » 15 jul 2015, 13:58

Mastrem schreef:...dan zijn er voor elk veelvoud van pq dat kan worden opgelost p veelvouden van q die kunnen worden opgelost
Dit heeft bewijs nodig. Voor nu lijkt het uit de licht te vallen. Heb je verzamelingen G hieraan getoets voor enigszins grote getallen van x (40 of 50)? Zo'n toets geeft geen bewijs maar misschien een tegenvoorbeeld.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 14:01

Goed idee, ik zal nu wel even een python programmaatje schrijven om dat te doen. onthoudt wel, dat ik heb bewezen dat het NIET zo is in (omdat A = 1.264 en geen 2)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 14:08

Volgens mij hoef ik het alleen te laten zien voor , want als het vermoeden waar is dan:

en dan bevatten beide sets dus dezelfde elementen.
Laatst gewijzigd door David op 15 jul 2015, 14:11, 1 keer totaal gewijzigd.
Reden: Backslash in LaTeX-code

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door David » 15 jul 2015, 14:16

Ja, klink redelijk. Ik snap alleen niet goed hoe dat tot een tegenspraak leidt. Als dat 'met de veelvouden' wel of niet waar is, hoe kan dat is zeggen over het vermoeden van Collatz?
Kan je het testen aan het vermoeden van Collatz behalve 'met 5n + 1', of met 'n + 1'?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 15:04

In mijn bewijs zei ik:


Het zou betekenen dat er evenveel machten in machten van 2 zijn in en , waarbij alle natuurlijke getallen tot en met x bevat en x naar oneindig gaat.

Het aantal machten van 2 in is x
En het aantal machten van 2 in is

En nu zie ik opeens dat ik een probleem heb ontdekt in mijn eigen bewijs. Aan het begin zeg ik het volgende:
"
Stel nu dat het vermoeden van Collatz waar is. Dat betekenen dat:

"
Wat ik eigenlijk zeg als ik later aanneem dat g(x) de lengte van zowel en is:

Dat zou impliceren dat elke keer als ik x plus 1 doe, er maar 1 getal bijkomt in . En dat is natuurlijk niet zo.

als ik x plus 1 doe, gaat g(x) keer 1.264. Dus zou het moeten zijn:

En dus:

Maar nog steeds:

Omdat


dit wilde ik eerst even corrigeren, nu zal ik proberen om te bewijzen dat dit 'bewijs' n+1 niet weerlegt

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 16:05

Aaaaah! stom! stom! stom!

Ik ben vergeten mee te rekenen dat de machten van 2 relatief veel sneller worden opgelost dan andere getallen. Ik heb wel een idee hoe ik mijn bewijs daaraan aan kan passen en ook gelijk laten zien dat met dezelfde techniek kan worden bewezen dat n+1 wel erkt, maar dat gaat even duren.

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: waar moeten de bewijzen?

Bericht door Mastrem » 15 jul 2015, 16:38

Even een vraagje.

Is er een manier (en zo ja, hoe?) om de volgende functie t(x) op te schrijven in termen van x?
t(0) = 1

Plaats reactie