poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

[David]

Voor sigma(n)/n, kijk eens naar http://oeis.org/A004394 ; n such that sigma(n)/n > sigma(m)/m for all m<n, sigma(n) being the sum of the divisors of n.

[Mastrem]

aah, ik snap het er zit een foutje in mijn bewijs. dom van me ik had het eerst moeten testen...

maar volgens mij kunnen we wel dit doen:

nu kunnen we stellen dat

dus:



stel nu dat:

dan:

aangezien

kunnen we vervangen door . we krijgen dan wel een wat 'sterker' vermoeden, zodat er misschien een paar lage getallen buiten de boot vallen

we krijgen nu:

p|n betekent hier niet dat als n deelbaar is door 4, dat je dan twee keer 2 doet, maar het betekent alleen de unieke priemfactoren, als je snapt wat ik bedoel.

[Mastrem]

mocht bovenstaande waar zijn, dan moeten we alleen bewijzen dat als:


dat we dan moeten bewijzen dat voor elke

[Mastrem]

oeps, dat ** moet ^ zijn.

[David]

mocht bovenstaande waar zijn

Heb je een bewijs of tenminste inspectie gehouden wat er buiten de boot valt etc.?

[Mastrem]

hard aan het werk met inspectie, maar ik moet alles eerst zelf programmeren dus...

[Mastrem]

inspectie laat zien dat het gedeelte van de getallen wat hieraan voldoet langzaam daalt, omdat getallen deelbaar moeten zijn door op zijn minst een kwadraat voor enige nauwkeurigheid als je het hebt over lage priemfactoren (onder 20)

het werkt echter perfect als ik alle priemgetallen lager dan 200 neem, behalve de eerste 6, en alle mogelijke combinaties van 2 test.

[David]

Met combinatie van 2, bedoel je product van twee (niet noodzakelijk verschillende) priemgetallen?

[Mastrem]

ja, dat was miss een beetje vaag ja, ik heb het nu trouwens getest tot 400.

dit zou betekenen dat je ipv 2 priemgetallen ook twee machten van priemgetallen groter dan 17 kan nemen en het nog steeds laten werken, omdat hoe hoger de hoogste macht van een priemgetal p waar je n door kan delen, hoe nauwkeuriger de ongelijkheid om het zo maar te zeggen

[David]

Een techniek om te testen is als volgt:

Neem een array/vector met alle elementen in oplopende volgorde, dus bijv.

Code: Selecteer alles

[1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 2, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 3, 3]
[1, 2, 2, 2]
[1, 2, 2, 3]
[1, 2, 3, 3]
[1, 3, 3, 3]
[2, 2, 2, 2]
[2, 2, 2, 3]
[2, 2, 3, 3]
[2, 3, 3, 3]
[3, 3, 3, 3]

Dit zijn alle 4-tuples die je kan maken met de (gehele) getallen 1 t/m 3 in oplopende volgorde.
Hieruit kan je getallen maken met precies vier priemfactoren, van de eerste drie priemgetallen.
Je kan dan [1, 1, 2, 3] laten corresponderen met p1 * p1 * p2 * p3 = 2 * 2 * 3 * 5 = 60.

[Mastrem]

ik heb nog wat tests gedaan en dit zijn de resultaten.

voor alle combinaties van 3 priemgetallen alle lager dan 20, zijn er maximaal 74 van de 343 mogelijkheden die niet kloppen, alle zijn deelbaar door 2

voor alle combinaties van 3 priemgetallen alle lager dan 30, zijn er maximaal 86 van de 1000 mogelijkheden die niet kloppen, alle zijn deelbaar door 2

voor alle combinaties van 3 priemgetallen alle lager dan 50, zijn er maximaal 101 van de 3375 mogelijkheden die niet kloppen, alle zijn deelbaar door 2

zou jij alsjeblieft misschien ook even zoiets willen testen, zodat ik zeker weet dat ik geen domme fouten maak?

[David]

Is het toevallig dat je voor priemgetallen tot 20, product van drie priemgetallen, 7^3 = 343 tests hebt gedaan? Er zijn 8 priemgetallen lager dan 20, (2,3,5,7,11,13,17,19), maar je krijgt misschien wel dubbelingen.

Er zijn 100 getallen met precies drie priemfactoren waarvan allen kleiner dan 20 en minstens 1 kleiner dan 8.

(Misschien lukt het morgen om te testen.)

Code: Selecteer alles

(22:40) gp > i=0;forvec(x=[[1,4],[1,8],[1,8]],i++;print(i" "prod(i=1,3,prime(x[i]))),1);i
1 8
2 12
3 20
4 28
5 44
6 52
7 68
8 76
9 18
10 30
11 42
12 66
13 78
14 102
15 114
16 50
17 70
18 110
19 130
20 170
21 190
22 98
23 154
24 182
25 238
26 266
27 242
28 286
29 374
30 418
31 338
32 442
33 494
34 578
35 646
36 722
37 27
38 45
39 63
40 99
41 117
42 153
43 171
44 75
45 105
46 165
47 195
48 255
49 285
50 147
51 231
52 273
53 357
54 399
55 363
56 429
57 561
58 627
59 507
60 663
61 741
62 867
63 969
64 1083
65 125
66 175
67 275
68 325
69 425
70 475
71 245
72 385
73 455
74 595
75 665
76 605
77 715
78 935
79 1045
80 845
81 1105
82 1235
83 1445
84 1615
85 1805
86 343
87 539
88 637
89 833
90 931
91 847
92 1001
93 1309
94 1463
95 1183
96 1547
97 1729
98 2023
99 2261
100 2527

[Mastrem]

nee, ik heb alles goed getest, alle 8 priemgetallen, maar ik kan niet tellen

oke, ik heb inmiddels mijn post geedit, het enige wat blijkbaar nodig was, was dat ze deelbaar waren door 2

ik heb nog wat tests gedaan, het hoogste is wat ik getest heb is:
van alle 6859 combinaties met priemgetallen lager dan 70, zijn er 113 uitzonderingen, alle deelbaar door 2
volgens mij tel ik enorm dubbel, maar dat fix ik een andere keer wel

[Mastrem]

ik heb het eens bekeken en ik heb verschrikkelijk dubbel geteld, er zijn 29 uitzonderingen ipv 113

[David]

Misschien kan je als tussenweg kijken of de priemgetallen gesorteerd zijn van klein naar groot voor je test. Dan heb je geen dubbelingen meer.