poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 16 jul 2015, 20:46

Stelling:

Waarbij:


Deelstelling 1:
Stel dat de delersom van n zo groot mogelijk is, dan is n deelbaar door elk natuurlijk getal, lager dan of gelijk aan n.
Dus:

We kunnen nu de n buiten het somteken schrijven.

Als we naar de definitie van H_n kijken zien we dus:

Deelstelling 1 is dus bewezen.


Deelstelling 2:
Laten we eens naar kijken

als je naar de linkerkant kijkt, zie je dat het eerste element groter is dan de som van de twee volgende en die is weer groter dan de som van de volgende vier. Dit is makkelijk te bewijzen. Je kan de volgende formule maken.

Wat algebra resulteert in:

Twee tot de macht voor beide kanten.



Deelstelling 3: impliceert
In deelstelling 1 bewezen we:

En in deelstelling 2:

Dit valt te combineren in:


Als en , dan , dus deelstelling 3 is bewezen


Laten we nu wat algebra doen met de nieuwe vergelijking.

Is gelijk aan.

Beide kanten delen door

de 'de macht buiten de vergelijking zetten:


Wat testen met een computerprogramma laat zien dat voor
en voor .

alle waarden van n, lager dan 12070 kunnen met een computerprogramma gecheckt worden (ze kloppen). dit betekent dat:



Klopt dit?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door David » 16 jul 2015, 21:12

Snel antwoord: heb je http://oeis.org/A000203 bekeken?
Heb je https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... i_constant bekeken?

Kan je de resultaten die je vond met de computer misschien bewijzen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 16 jul 2015, 21:54

Het is makkelijk na te rekenen.




En:



en dat is sowieso groter dan

ik denk dat er een foutje in mijn computerprogramma zit, waardoor de waarde van het laatste getal zo hoog is. Het is in werkelijkheid zelfs lager dan 12070

maar zitten er geen fouten in het bewijs?

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 16 jul 2015, 22:00

oeps,



Laatst gewijzigd door Mastrem op 16 jul 2015, 22:55, 2 keer totaal gewijzigd.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door David » 16 jul 2015, 22:14

Mastrem schreef:
n = 1000 \implies \sigma(n) = 2340 < 7000 < 1000 * H(1000).
(Ik gebruik PARI/gp om te checken. http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html)
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 16 jul 2015, 22:18

oeps dat moet zijn en niet
overal in deelstelling 1 trouwens (behalve in deelstelling 1 zelf natuurlijk)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 16 jul 2015, 22:57

Ik heb bijna aan het eind ergens als een noemer staan:

dat moet zijn

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 17 jul 2015, 10:54

Ik kan die Euler-Mascheroni constante ook gebruiken i.p.v. en dat zou de waarde van het laatste getal (nu 12070) aardig naar beneden halen.

het zou alleen de uiteindelijke formule veel minder mooi maken.

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 17 jul 2015, 12:21

Laat maar over de Euler-Mascheroni constant, Dat klopt niet.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door David » 17 jul 2015, 21:27

Er zijn nog wat terminologie-werk te doen ("vergelijking" in plaats van "ongelijkheid"), maar dat terzijde.
Uit je openingspost:
Mastrem schreef:de 'de macht buiten de vergelijking zetten:
Dit lijkt een (onjuist toegepaste) verzonnen regel .
Wat had je daar willen doen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 17 jul 2015, 21:56

ik wilde het er wat makkelijker uit laten zien. Het mag wel gewoon.
Eerst had ik:

Daarna:


En:

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door David » 18 jul 2015, 08:27

Probeer (a, b, c) = (64, 16, 2).
(voor positieve c ongelijk aan 1):
(doorgaans)

(doorgaans)

(ook )
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 18 jul 2015, 08:59

Oja tuurlijk, ik haal wortels en logaritmes door elkaar...

als ik nou het volgende doe:

En:


dit betekent dat steeds dichter bij komt en dus:

Waardoor de ongelijkheid wordt:












En dat is ook niet waar voor alle n. Ik moet dus iets vinden wat altijd groter is dan de delersom is, maar kleiner is dan

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door David » 18 jul 2015, 09:16

Je kan zeggen dat ongelijkheden equivalent zijn aan elkaar, maar niet dat ze gelijk zijn.
Notatie is dan bijv.


De onderste ongelijkheid is alleen waar voor 2 <= n <= 6.
Kan je gebruiken dat delersom multiplicatief is?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Mastrem
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 191
Lid geworden op: 13 jul 2015, 14:50

Re: poging Hn+e^Hn*ln(Hn)>=delersom(n) te bewijzen

Bericht door Mastrem » 18 jul 2015, 09:19

Hoe bedoel je multiplicatief?

ik heb wel gevonden dat de dichtheid van de overvloedige getallen tussen de 0,2474 en 0,2480 ligt.
de rest van de getallen heeft een delersom lager of gelijk aan dan 2n (of 3n als je n zelf meetelt)

Plaats reactie