Wiskundeforum

Goeienavond,

Ik ben voor mijzelf bezig in 'moderne wiskunde', havo B deel 1. De vergelijking waar ik op dit moment over struikel is de volgende:

sqrt(x**2-1)-7=0 (gnuplot, sorry).

Wanneer ik in deze vorm eerst kwadrateer om de wortel te lozen krijg ik

x**2-1+49=0

Daar wijkt ik al af van wat er voorgerekend blijkt te worden in het uitwerkingenboek. Daar doet men als eerste stap

sqrt(x**2-1)=7

en daarna wordt gekwadrateerd. Wanneer ik deze 3 vergelijkingen teken in gnuplot lijken de antwoorden in het uitwerkingenboek te niet te kloppen met mijn eigen 1e stap. Maar welke rekenregel overtreed ik dan hier?

--vgr maurits

stendal schreef:Maar welke rekenregel overtreed ik dan hier?

Je kan links kwadrateren, maar je vergeet termen.
Als a = sqrt(x^2 - 1) en b = -7 dan geef je dat (a + b)^2 = a^2 + b^2, waar je a^2 + 2ab + b^2 zou krijgen.

stendal schreef:Maar welke rekenregel overtreed ik dan hier?

Bedenk het volgende: Als je kwadrateert bv 3+4, dan:

Bedankt voor de snelle reacties.

De notatie sqrt(x**2-1) is alleen zo om het als term onder het wortelteken te laten vallen. Ik herken geen bijzonder-product vorm. Ik snap de noodzaak voor dubbeltermen hier dus ook niet. In het uitwerkingboek wordt ook niets wordt voorgerekend over dubbeltermen. Niet dat er meer wegen kunnen leiden naar een goede oplossing, maar een mooie simpele oplossing is meestal correct (zoals Moeder Natuur meestal correct is). De redenering in mijn uitwerkingboek is als volgt:

sqrt(x**2-1) -7 = 0
sqrt(x**2-1) = 7
x**2-1 = 49
x**2 = 50
x = 5*sqrt(2) of x= -5*sqrt(2)

Nu staan er afentoe fouten in het boek, dat wel. Maar dit soort fouten maken de auteurs niet. Bovendien lijken deze uitkomsten te kloppen met mijn geplotte tekeningen; mijn eigen uitkomsten kloppen niet met mijn tekeningen. Dus de boekuitwerking kan niet fout zijn. Hoewel David zegt dat mijn kwadrateren wel kan, lijkt mijn fout te zitten in het kwadrateren van het gehele linkerlid, terwijl de waarde van het rechterlid 0 is.

Ik volg wel de zienswijze van het bijzonder product van David, hoewel dit dan zou moeten zijn van de vorm (a-b)(a-b), en niet (a+b)(a+b). Los hiervan creert het dubbelproduct een nieuwe wortelterm, terwijl ik die juist wil kwijtraken.

(sqrt(x**2-1) -7)) (sqrt(x**2-1) -7)) = 0
(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0
x**2 -14*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0

Dit is toch hoe het uitgeschreven zou moeten worden?

Zoja, dan brengt mij deze tussenstap vooralsnog niet dichter bij de oplossing. Ik zie ook niet hoe ik vanuit hier belanden zou bij de uiteindelijke oplossing van x= +/-5*sqrt(2). In de bovenstaande boekuitwerking zie ik namelijk geen dubbelproduct weggewerkt worden. Van een zichzelf opheffend dubbelproduct, dus +(term) -(term), kan ook geen sprake zijn.

De bovenstaande boekuitwerking is simpel, niet onlogisch en de algebra klopt ook met de grafiek. Daar lijkt niks dus mis mee. Voor zover ik termen vergeet, snap ik niet hoe een juiste verwerking van die vergeten termen mij doet belanden bij de oplossing. Ik snap het nog steeds niet.

--mvg maurits

stendal schreef: sqrt(x**2-1)-7=0 (gnuplot, sorry).

Dit is duidelijk fout en dat heb je begrepen ...

stendal schreef: (sqrt(x**2-1) -7)) (sqrt(x**2-1) -7)) = 0
(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0
x**2 -14*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0

Dit is juist, maar je bent geen stap verder want je hebt nog altijd die wortel ...

sqrt(x**2-1) -7 = 0
sqrt(x**2-1) = 7
x**2-1 = 49
x**2 = 50
x = 5*sqrt(2) of x= -5*sqrt(2)

Dit is juist!

Wat is je bezwaar ...

Je kan het antwoord van het boek controleren door de waarden van x in te vullen in de vergelijking.

stendal schreef:hoewel dit dan zou moeten zijn van de vorm (a-b)(a-b), en niet (a+b)(a+b).

(a-b)(a-b) = (a + (-b))(a + (-b)). Ik koos (a + b)^2 met b = -7, jij zou (a - b)^2 kiezen met waarschijnlijk b = 7.

stendal schreef:(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0
x**2 -14*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0

Je kwadraat klopt nog niet; je verliest een -1 en wat haakjes uit de een na laatste regel.

Ik zou de -7 naar de andere kant brengen. Mocht je willen verdergaan met de wortel,
je hebt:
sqrt(x^2-1) -7 = 0
en voor het kwadraat:
x^2 -1 -14*(sqrt(x^2-1)) + 49 = 0

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 14 en tel bij de onderste op. Zo ben je van de wortel af.

David schreef:

stendal schreef:(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) -7*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0
x**2 -14*(sqrt(x**2-1) + 49 = 0

Je kwadraat klopt nog niet; je verliest een -1 en wat haakjes uit de een na laatste regel.

Ik zou de -7 naar de andere kant brengen. Mocht je willen verdergaan met de wortel,
je hebt:
sqrt(x^2-1) -7 = 0
en voor het kwadraat:
x^2 -1 -14*(sqrt(x^2-1)) + 49 = 0

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 14 en tel bij de onderste op. Zo ben je van de wortel af.

Die verloren -1 stond op mijn kladje er nog wel bij in de vorm
x^2 -14*(sqrt(x^2-1) + 48 = 0

Slordige fout. Ik heb voor het laatst onderbouw-wiskunde gedaan op school in de jaren '70, en daarna nooit meer. Nu heb ik het dus weer opgepakt en ik was in het begin zooo slordig met oa. tekenwisselingen: -2a = 4 -> a=2; bijna op het dyslectische af. Dit wordt gelukkig wel minder erg merk ik; gewoon minder haasten en preciezer kijken.

Bedoel je met de bovenste vergelijking die ik moet vermenigvuldigen met 14, de vergelijking sqrt(x^2-1) -7 = 0?
Het nut van die vermenigvuldiging begrijp ik niet. En wat moet ik bij de onderste vergelijking x^2 -1 -14*(sqrt(x^2-1)) + 49 = 0 nog optellen om de wortel kwijt te raken? De enige manier om de wortel te neutraliseren is door kwadrateren toch? Ook deze suggestie begrijp ik niet.

--vgr maurits

Fijn dat je foutjes minder worden. In je werk hier valt het wel mee.
Komt de ** voor exponent uit Python?

Je hebt twee vergelijkingen.

en


En dan kan je een techniek toepassen die je ook kan gebruiken om stelsels van vergelijking op te lossen. Bijvoorbeeld, stel je hebt
a - b = 0 [1]
5b - 14a = 9 [2]

Dan kan je vergelijking [1] vermenigvuldigen met 14, en krijg je
14a - 14b = 0

Als je dat optelt bij vergelijking [2], krijg je
(5b - 14a) + (14a - 14b) = (0 + 9)
Ofwel -9b = 9, wat geeft b = -1.
Terug naar a - b = 0 en b = -1, geeft a -(-1) = 0 ofwel a = -1.

Zoiets kan je ook doen bij jouw vergelijking. Snap je?

vergelijking_1: sqrt(x^2-1) -7 = 0
14*((sqrt(x^2-1)-7) = 0
14*sqrt(x^2-1)-98 = 0

vergelijking_2: x^2-14*(sqrt(x^2-1)+48 = 0
x^2-14*sqrt(x^2-1)+14*sqrt(x^2-1)+48-98 = 0
x^2= 50
x= 5*sqrt(2) en x= -5*sqrt(2)

Geweldig, weer wat geleerd!

Ik gebruik Debian Linux (CrunchBang++ om precies te zijn op mijn netbook) en machtsverheffen in gnuplot luistert idd naar **. Ik herinner mij niet meer precies welke software gnuplot destijds allemaal installeerde. Maar Python zou goed kunnen. Ik heb ook octave, gle-graphics, geogebra en scilab geinstaleerd, maar hier nog niks mee gedaan. Ik heb mij namelijk ingeschreven voor combi-opleiding werktuigbouw/IWE (laspraktijk ingenieur) aan de Hoge School Utrecht. Opleiding start in september en ik moet nog veel havo wis- en natuurkunde doen binnen die periode. Niet zoveel tijd dus om rond te klooien in allerlei nieuwe software waarvan ik waarschijnlijk maar 1 of 2 programma's echt zal gaan gebruiken.

Jullie allebei erg bedankt voor je expertise.

--vgr maurits

Tof, goed bezig!
Van die programma's heb ik alleen GeoGebra geïnstalleerd (en ooit gebruikt). Het werkt prettig om functies te plotten en voor meetkunde.
Succes met je voorbereiding en als je nog vragen hebt... vraag maar!