Wiskundeforum

Hallo,

Ik loop helemaal vast met het vereenvoudigen van breuken met negatieve machten.

Bijvoorbeeld:
$\left ( \frac{5}{3} \right )^{-3}$ $=$ $\frac{1}{\left ( \frac{5}{3} \right )^{3}}$ = $\frac{125}{27}$ wat dan weer omgekeerd dient te worden met als resultaat $\frac{27}{125}$

Ik snap echter totaal de laatste stap niet. Het omdraaien van de breuk, waarom is dit, ik wil het graag begrijpen.

Daarnaast als ik bovenstaande toepas op de volgende breuk gaat het voor mijn gevoel mis:
$\left ( \frac{3}{6} \right )^{-5}$ $=$ $\frac{1}{\left ( \frac{3}{6} \right )^{5}}$ = $\frac{243}{7776}$ wat dan weer omgekeerd dient te worden met als resultaat $\frac{7776}{243}$ wat dan denk ik versimpeld weer 32 is

Gaat dit goed op deze manier? en waarom die breuk omdraaien, wat is de logica daarin. Zeer gewaardeerd als iemand mij hier antwoord op kan geven. Een link in de goede richting mag ook natuurlijk

We kunnen bijvoorbeeld deze 2 rekenregels gebruiken (waarschijnlijk ken je deze formules):

$a^{-n} \;=\; \frac{1}{a^n}$

en

$\left(\frac{a}{b}\right)^{k} \;=\; \frac{a^k}{b^k}$

Volgens de eerste regel hierboven geldt:

$\left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \;=\; \frac{1}{\left(\frac{5}{3}\right)^3}$

en vervolgens met de 2e regel:

$\frac{1}{\left(\frac{5}{3}\right)^3} \;=\; \frac{1}{\left(\frac{5^3}{3^3}\right)} \;=\; \frac{1}{\left(\frac{125}{27}\right)$

Het probleem is nu dat je een breuk hebt in de noemer.
Dit los je op door teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, de breuk blijft dan hetzelfde.
Het getal waarmee je vermenigvuldigt is (de noemer van (de breuk in de noemer)) = 27:

$\frac{1}{\left(\frac{125}{27}\right)} \;=\; 1 \;\cdot\; \frac{1}{\left(\frac{125}{27}\right)} \;=\; \frac{27}{27} \;\cdot\; \frac{1}{\left(\frac{125}{27}\right)}\;=\; \frac{27}{27\cdot \left(\frac{125}{27}\right)} \;=\; \frac{27}{125}$

Er zijn ook andere manieren om deze vraag aan te pakken, bijvoorbeeld:

$\left(\frac{5}{3}\right)^{-3} \;=\; \left(5 \;\cdot\; 3^{-1}\right) ^{-3} \;=\; 5^{-3} \;\cdot\; \left(3^{-1}\right)^{-3} \;=\; 5^{-3} \;\cdot\; 3^{(-1 \cdot -3)}\;=\; 5^{-3} \;\cdot\; 3^3 \;=\; \frac{3^3}{5^3} \;=\; \frac{27}{125}$

Hierin gebruik je

$(a \;\cdot\; b)^n \;=\; a^n \;\cdot\; b^n$

en

$(a^n)^k \;=\; a^{(n \cdot k)}$

Kom je nu zelf uit die tweede opgave?

Dit kan eigenlijk in twee stappen opgelost worden door gewoon de breuk om te keren.

$(5/3)^(-3) = (3/5)^3 = 27/125$

Prima!

Hallo,

Enorm bedankt voor jullie antwoord!! Arie bedankt voor de uitgebreide uitleg. Het is duidelijk

Wiskundeforum

Negatieve machten en breuken

Negatieve machten en breuken

Re: Negatieve machten en breuken

Re: Negatieve machten en breuken

Re: Negatieve machten en breuken

Re: Negatieve machten en breuken