Wiskundeforum

Meestal vind ik de uitleg van Hofstede glashelder...

Hier geeft hij de volgende stellingen over kettingbreuken:

T(n) = a(n)• T(n-1) + T(n-2) en N(n) = a(n)• N(n-1) + N(n-2)

T is de teller, N is de noemer en a is een getal uit de kettingbreuk. Alles tussen haakjes moet een onderschrift zijn.

Vervolgens zegt hij: Als we deze rekenregel willen doorvoeren tot en met breuk nummer nul, dan moeten we T(0) en N(0) handig kiezen. Er moet dan namelijk gelden:
T(2) = a(2)• T(1) + T(0) = a(2)• a(1) + T(0) en ook N(2) = a(2)N(1) + N(0) = a(2)• 1 + N(0)

Daaruit volgt T(0) = 1 en N(0) = 0

Ik begrijp echter niet hoe je die T(0) = 1 hieruit onttrekt...

Ik heb dus: a(2) = N(2) ; a(1) = T(1) ; N(1) = 1 en N(0) = 0

Een beetje vreemd:
doorgaans noteren we kettingbreuken in deze vorm:

$[a_0; a_1, a_2, a_3, ...]$

zie bijvoorbeeld https://nl.wikipedia.org/wiki/Kettingbreuk

De nulde convergent is dan

$a_0 = \frac{a_0}{1}$

en dan is dus

$T_0 = a_0\;$
en
$\;N_0 = 1$

Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Kettingbreuk#Convergenten, waarbij ze daar de convergent als p/q schrijven in plaats van T/N:
$\frac{p_n}{q_n} = \frac{T_n}{N_n}$

In deze notatie bereken jij dan waarschijnlijk convergent nummer -1, en dat zullen we nu doen:

Convergent nummer 1 is

$a_0 + \frac{1}{a_1} = \frac{a_0a_1+1}{a_1}$

dus

$T_1 = a_0a_1+1$
en
$\;N_1 = a_1$

Met de recursieve formule kunnen we ook schrijven:

$T_1 = a_1 \cdot T_0 + T_{-1}$
en
$N_1 = a_1 \cdot N_0 + N_{-1}$

Vullen we hier nu de waarden van T[0], N[0], T[1] en N[1] in zoals we die hierboven vonden, dan krijgen we:

$a_0a_1+1 = a_1 \cdot a_0 + T_{-1}$
en
$a_1 = a_1 \cdot 1 + N_{-1}$

en hieruit kunnen we T[-1] en N[-1] oplossen:

$T_{-1} = 1$
en
$N_{-1} = 0$

Kan het zijn dat dit bedoeld wordt?

Aha!

T(1) = a(1) a(0) + 1

Die miste ik dus...

Ontzettend bedankt!

Hofstede noemt dus die a(0) waar jij het over hebt de a(1)...

http://www.hhofstede.nl/modules/kettingbreuken.htm

Wiskundeforum

Breuk nummer nul

Breuk nummer nul

Re: Breuk nummer nul

Re: Breuk nummer nul