Vergelijkingen en Polynomen

[Cookie]

Goede morgen. Ik hoop dat ik dit post op het juiste forum . Ik heb één korte vraag en één lange vraag.

√2x + 1 ≤ |x + 1| (https://i.imgur.com/GMK2zSt.png)

Bij deze vergelijking kom ik uiteindelijk uit op x ≥ 0 Ook als ik het op m'n GR check lijkt dat te klopen. Maar het antwoorden boek zegt dat het antwoord x ≥ -1/2 is. Dus wat doe ik verkeerd?

En mijn lange vraag is, hoe werken polynomen nou precies? Zover begrijp ik dat https://i.imgur.com/xAZzxyn.png dit uiteindelijk naar https://i.imgur.com/5DjMq7o.png dat moet gaan. Het heeft een relatie met n - 1. Maar wat betekent zo een lage "n" ook alweer. En hoe precies kom ik aan g(x) (dat dus te maken heeft met n-1). https://i.imgur.com/7xjS2ug.png Dit is een voorbeeld uit het boek. En dan hebben ze gegeven dat a = 1. En dit is dan het antwoord https://i.imgur.com/zTbjfvB.png . Ik begrijp de (x - 1) Maar de g(x) en de + 1 begrijp ik niet.

[arno]

Merk op dat √a uitsluitend gedefinieerd is voor a≥0, dus er geldt in ieder geval dat 2x+1≥0, dus x≥-½. Merk verder op dat |a| = a voor a≥0, dus er geldt dat |x+1| = x+1 voor x≥-1. Vanwege het feit dat x≥-½ betekent dit dus dat moet gelden dat . Los nu eens de wortelvergelijking op en bedenk dat in ieder geval moet gelden dat x≥-½. Wat volgt daaruit voor de oplossing van de ongelijkheid?
Een polynoom van graad n heeft de algemene gedaante , waarbij coëfficiënten zijn die uit een gegeven getalverzameling, zoals de gehele, rationale, reële of complexe getallen, kunnen worden gekozen. Stel f(x) is een polynoom van graad n en g(x) is een polynoom van graad m met m≤1≤n, dan zijn er 2 uniek bepaalde polynomen q(x) en r(x) te vinden met graad(r(x))<graad(g(x)) waarvoor geldt dat f(x) = q(x)·g(x)+r(x), waarbij q(x) het quotiëntpolynoom en r(x) het restpolynoom bij deling van f(x) door g(x) voorstelt. Indien g(x) = x-a geldt dat r(x) = f(a). Dit is de zogenaamde reststelling voor polynomen. Voor r(x) = 0 betekent dit dat x-a een factor van f(x) is en dat x = a dan een nulpunt van f(x) is. Dit is de zogenaamde factorstelling voor polynomen.
Om bij een polynoom van graad n met geheeltallige coëfficiënten de nulpunten te vinden bepaal je alle mogelijke delers van de hoogste coëfficiënt, dus van . Stel dat a zo'n deler is waarvoor geldt dat f(a) = 0, dan is x = a dus een nulpunt van f(x) en is x-a een factor van f(x).
Bij het voorbeeld in je boek is gegeven dat q(x) = x-1, dus dat f(x) = (x-1)g(x)+r(x). Bepaal nu aan de hand van de gegeven uitdrukking voor f(x) eens de uitdrukking voor g(x) en r(x).

[Cookie]

Merk op dat √a uitsluitend gedefinieerd is voor a≥0, dus er geldt in ieder geval dat 2x+1≥0, dus x≥-½. Merk verder op dat |a| = a voor a≥0, dus er geldt dat |x+1| = x+1 voor x≥-1. Vanwege het feit dat x≥-½ betekent dit dus dat moet gelden dat . Los nu eens de wortelvergelijking op en bedenk dat in ieder geval moet gelden dat x≥-½. Wat volgt daaruit voor de oplossing van de ongelijkheid?
Een polynoom van graad n heeft de algemene gedaante , waarbij coëfficiënten zijn die uit een gegeven getalverzameling, zoals de gehele, rationale, reële of complexe getallen, kunnen worden gekozen. Stel f(x) is een polynoom van graad n en g(x) is een polynoom van graad m met m≤1≤n, dan zijn er 2 uniek bepaalde polynomen q(x) en r(x) te vinden met graad(r(x))<graad(g(x)) waarvoor geldt dat f(x) = q(x)·g(x)+r(x), waarbij q(x) het quotiëntpolynoom en r(x) het restpolynoom bij deling van f(x) door g(x) voorstelt. Indien g(x) = x-a geldt dat r(x) = f(a). Dit is de zogenaamde reststelling voor polynomen. Voor r(x) = 0 betekent dit dat x-a een factor van f(x) is en dat x = a dan een nulpunt van f(x) is. Dit is de zogenaamde factorstelling voor polynomen.
Om bij een polynoom van graad n met geheeltallige coëfficiënten de nulpunten te vinden bepaal je alle mogelijke delers van de hoogste coëfficiënt, dus van . Stel dat a zo'n deler is waarvoor geldt dat f(a) = 0, dan is x = a dus een nulpunt van f(x) en is x-a een factor van f(x).
Bij het voorbeeld in je boek is gegeven dat q(x) = x-1, dus dat f(x) = (x-1)g(x)+r(x). Bepaal nu aan de hand van de gegeven uitdrukking voor f(x) eens de uitdrukking voor g(x) en r(x).

Hmm... als ik zou moeten oplossen dan zou ik eerst beide delen kwadrateren. Dat wordt dan En dan kom ik uiteindelijk uit op
Maar ik moet dus er bij denken dat x≥-½. Dus als ik in de formule zou invullen x=-½ dan wordt het En dan wordt 0 en wordt dan ½. Dus dan is het inderdaad
Werkt dat zo

Dus f(x)=(x-1)g(x)+r(x)
Dus g(x)=x-a en r(x)=f(a) Dus r(x)=a?
Als r(x)=0 dan is g(x) een factor van f(x) en x=a is een nulpunt. Dus f(x)=0?
f(x)=(x-1)*(a-a)+a=0?
g(x)=0 en r(x)=a? Ik denk niet dat ik dat correct heb gedaan :/

[arno]

Hmm... als ik zou moeten oplossen dan zou ik eerst beide delen kwadrateren. Dat wordt dan En dan kom ik uiteindelijk uit op

Dat is inderdaad de oplossing van de wortelvergelijking .

Maar ik moet dus er bij denken dat x≥-½. Dus als ik in de formule zou invullen x=-½ dan wordt het

Nee, dat klopt niet. Bedenk dat als x = -½ en dat dat als x>-½. Ga nu na dat voor x>-½ door van beide functies (de wortelfunctie links en de absolute waarde functie rechts) de grafieken te tekenen.

Dus f(x)=(x-1)g(x)+r(x)
Dus g(x)=x-a en r(x)=f(a) Dus r(x)=a?:/

Nee, dat klopt niet. Wat is het voorschrift van f(x) in het gegeven voorbeeld, dus hoe bepaal je daaruit de bijbehorende g(x) en
r(x)? Zoek indien nodig eens een vergelijkbaar voorbeeld uit je boek op om te zien hoe je precies te werk gaat.

[Cookie]

Hmm... als ik zou moeten oplossen dan zou ik eerst beide delen kwadrateren. Dat wordt dan En dan kom ik uiteindelijk uit op

Dat is inderdaad de oplossing van de wortelvergelijking .

Maar ik moet dus er bij denken dat x≥-½. Dus als ik in de formule zou invullen x=-½ dan wordt het

Nee, dat klopt niet. Bedenk dat als x = -½ en dat dat als x>-½. Ga nu na dat voor x>-½ door van beide functies (de wortelfunctie links en de absolute waarde functie rechts) de grafieken te tekenen.

Dus f(x)=(x-1)g(x)+r(x)
Dus g(x)=x-a en r(x)=f(a) Dus r(x)=a?:/

Nee, dat klopt niet. Wat is het voorschrift van f(x) in het gegeven voorbeeld, dus hoe bepaal je daaruit de bijbehorende g(x) en
r(x)? Zoek indien nodig eens een vergelijkbaar voorbeeld uit je boek op om te zien hoe je precies te werk gaat.

Hmm, dus ik doe het helemaal verkeerd.
https://imgur.com/a/tkiKtsE Oke, dus ik zie inderdaad dat op x=-1/2 dat |x+1| groter is dan √2x + 1.

https://i.imgur.com/G0HpkhX.png Dit is een andere opgave uit het boek. De opgave luidt "Bepaal bij het gegeven polynoom f(x) en het gegeven getal a een polynoom g(x) en een getal b zo, dat f(x) = (x − a)g(x) + b. Ga telkens na dat b = f(a)."

[SafeX]

De bedoeling is de functie: f(x)=2x^2+3 te herschrijven als f(x)=(x-1)(... + ...) + ..., ben je het daarmee eens?
De factor (... + ...) kan alleen maar van de vorm px+q zijn. Eens?
Kan je nu verdergaan en p en q bepalen?

[Cookie]

Wacht, ja, ik denk dat ik het nu snap. Ik nog een keer naar de uitleg gekeken. Dus dan is de vorm px+q -> 2x+2 ?

[SafeX]

Mooi!
Wat wordt dan: f(x)=(x-1)(2x+2)+r , de term r?

[Cookie]

Mooi!
Wat wordt dan: f(x)=(x-1)(2x+2)+r , de term r?

Dat wordt dan 5. Want a is 1.

[SafeX]

Mooi.
Is je vraag opgelost?

[Cookie]

Ja, ik denk het wel Bedankt voor alle hulp.

[SafeX]

Mooi! Succes verder.