Tussenruimte 3 circels

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
gg
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 20 jun 2006, 19:18

Tussenruimte 3 circels

Bericht door gg » 20 jun 2006, 19:24

stel je hebt 3 circels die aan elkaar liggen, allemaal met een straal (radius) van 3.

Afbeelding

zo dus.

hoe groot is dan de tussenruimte en hoe bereken je dit?

Alvast bedankt voor het oplossen van dit probleem.

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Tussenruimte 3 circels

Bericht door Sjoerd Job » 20 jun 2006, 20:14

gg schreef:stel je hebt 3 circels die aan elkaar liggen, allemaal met een straal (radius) van 3.

Afbeelding

zo dus.

hoe groot is dan de tussenruimte en hoe bereken je dit?

Alvast bedankt voor het oplossen van dit probleem.
Vanwege de 3 gelijke stralen, kunnen we het probleem versimpelen!

Afbeelding
Zit je hoe ik van het originele probleem hierop kom?

Nu verwacht ik eigenlijk dat je al een klein ideetje krijgt om dit verder op te lossen... welke hoeken weet je / kan je vinden?
Welke lengtes?

Hoe ver kom je daarmee?
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

gg
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 20 jun 2006, 19:18

Bericht door gg » 20 jun 2006, 21:12

je verbindt de 3 middelpunten met elkaar, tenminste daar lijkt het op.

ook teken je daar vanuit een lijn die door het punt van de 'driehoek' rechstonder loopt.

De enige lengtes die ik hier uit kan afleiden zijn de lijnen die uit het middelpunt naar de buitenrand lopen, deze zijn natuurlijk 3 cm

Helaas, Veel verder kom ik hier niet mee,

zou iemand alstublieft zo aardig willen zijn de oplossing met uitleg willen geven. Het is namelijk de bedoeling dat we door middel van andere mensen de som begrijpen, dus als u zo vriendelijk wilt zijn het uit te leggen, graag.

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Bericht door Sjoerd Job » 20 jun 2006, 21:44

Ok, dan zal ik deze som in zijn totaliteit uitleggen.

Als eerste merk ik op dat het figuur draaisymmetrisch is met een hoek van 120 graden.
Als tweede, kom ik tot het inzicht dat, wanneer we de raaklijn van een cirkel doortrekken, op het punt dat een andere cirkel dezelfde raaklijn heeft, en we dit doen voor alle 3 cirkels, we 3 raaklijnen hebben die elkaar snijden.

Afbeelding

Nu nemen we 1 cirkel + raaklijnen apart,

Afbeelding

en tekenen we de lijnen door het middelpunt loodrecht op de raaklijnen, en naar het snijpunt van de raaklijnen.

Afbeelding

Deze driehoeken zijn gelijkvormig, maar, het zijn ook twee 30-60-90 driehoeken!

Ok, van een 30-60-90 verhouden de zijden zich 1-sqrt{3}-2
Waar sqrt{3} de langste rechthoekzijde is.

Maar, in onze driehoek hebben we niet sqrt{3} maar 3. Alles keer sqrt{3} dan maar.
sqrt{3}-3-2*sqrt{3}

Nu hebben we Opp(driehoekn) - Opp(cirkelsector) = Opp(gebiedje)

Wat is de opp van de driehoeken? 2 * .5 * sqrt{3} * 3 = 3* sqrt{3}
Wat is de opp van de cirkelsector? Pi*3^2 / 6
Het gebiedje? 3*sqrt{3} - 1.5*Pi

Maar we hebben 3 gebiedjes, dus komen we op
9*sqrt{3} - 4.5*Pi

Even het eind-antwoord netter:


Ik hoop dat je de route erheen nu inziet?
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

Plaats reactie