Limiet naar oneindig

vormfout · Bericht door **vormfout** » 07 mar 2012, 21:21

Ik heb de volgende limiet:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}$

Ik kan nu niet de teller en noemer delen door de dominante term. Wat is dan de methode?

Bericht door **SafeX** » 07 mar 2012, 21:26

Wat denk je zelf? Bv als je n=1000 zou invullen, daarna 10^6 enz?

vormfout · Bericht door **vormfout** » 07 mar 2012, 21:35

Ik wist al dat ie naar oneindig zou gaan maar mag je dat gelijk stellen dan?

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=\infty$

Op die wijze heb je niet laten zien hoe je aan het antwoord komt.

Bericht door **SafeX** » 07 mar 2012, 21:59

Bedoel je dat je het streng wilt bewijzen? Zo nee:
Je kan teller en noemer delen door 4n^4, als n naar oneindig gaat gaat de noemer naar 1 en de teller ...

Bericht door **barto** » 07 mar 2012, 22:07

Of maak de euclidische deling als je het streng wiskundig wil aanpakken.

Bericht door **SafeX** » 08 mar 2012, 09:50

barto schreef:Of maak de euclidische deling als je het streng wiskundig wil aanpakken.

Dit is niet streng wiskundig en wat is het verschil met mijn hint?
Bovendien zal de streng wiskundige aanpak hier niet vereist zijn, vandaar mijn vraag in die richting aan de TS!

Bericht door **barto** » 08 mar 2012, 18:37

Ik bedoel:
Vind met de euclidische deling quotiënt en rest, zodat $2n^{5}=q(n)*(4n^{4}+5n^{2}-3)+r(n)$ , en dus $\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=q(n)+\frac{r(n)}{4n^{4}+5n^{2}-3}$ .
Dan kan je zeggen dat $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=\lim_{n\rightarrow \infty }q(n)$ , omdat $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{r(n)}{4n^{4}+5n^{2}-3}=0$

Dat is toch streng, of niet?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 08 mar 2012, 18:58

barto schreef:Ik bedoel:
Vind met de euclidische deling quotiënt en rest, zodat $2n^{5}=q(n)*(4n^{4}+5n^{2}-3)+r(n)$ , en dus $\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=q(n)+\frac{r(n)}{4n^{4}+5n^{2}-3}$ .
Dan kan je zeggen dat $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=\lim_{n\rightarrow \infty }q(n)$ , omdat $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{r(n)}{4n^{4}+5n^{2}-3}=0$

Dat is toch streng, of niet?

Je hebt dan wel dat
$\lim_{n\to \infty} \frac{2n^5}{4n^4 + 5n^2 -3} = \lim_{n\to\infty} [q(n) + \frac{r(n)}{4n^4+5n^2-3} ]$ , maar je moet dan nog wel bewijzen dat die tweede term limiet 0 heeft.

Bericht door **barto** » 08 mar 2012, 19:10

$\lim_{n\to\infty}\frac{r(n)}{4n^4+5n^2-3}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}r(n)}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}4n^4+5n^2-3}$

De limiet naar oneindig van een veelterm is de limiet naar oneindig van zijn hoogstegraadsterm,
en de rest is een veelterm van de derde graad. dus:

$\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}r(n)}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}4n^4+5n^2-3}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a*n^3}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}4n^4}= \lim_{n\to\infty}\frac{a*n^3}{4n^4}=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{4n}=0$

Zo goed?

vormfout · Bericht door **vormfout** » 08 mar 2012, 23:26

Bedankt voor jullie reacties.
Ik heb geen idee waar jullie mee bezig zijn maar zo hoef ik het in ieder geval niet te doen, wat dat betreft is mijn vraag beantwoord.

Ik heb nog iets ander waar ik een vraag over heb.
Bij limieten als deze:

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}+3n!}{n^{n}+(3n)!}$

$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)!}{n!+2^{n}}$

Wat kan ik van die (3n)! en (n+3)! maken?
blijkbaar zijn ze respectievelijk niet gelijk aan 3!*n! en n! +3! dus ik weet niet zo goed wat ik daarmee moet doen.

Bericht door **SafeX** » 09 mar 2012, 09:38

Kies voor n een getal bv n=4 en kijk hoe de faculteiten zich gedragen.

Bericht door **SafeX** » 09 mar 2012, 09:40

vormfout schreef:Bedankt voor jullie reacties.
Ik heb geen idee waar jullie mee bezig zijn maar zo hoef ik het in ieder geval niet te doen, wat dat betreft is mijn vraag beantwoord.

Ok, maar hoe heb je het tenslotte opgeschreven?

vormfout · Bericht door **vormfout** » 09 mar 2012, 22:54

Ik heb het zo opgeschreven.

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{2n^{5}}{4n^{4}}}{\frac{4n^{4}}{4n^{4}}+\frac{5n^{2}}{4n^{4}}-\frac{3}{4n^4}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{2}n}{1+\frac{5}{4n^{2}}-\frac{3}{4n^4}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{2}n}{1+0-0}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2}n=\infty$

Ik dacht dat je alleen door een dominante term in de noemer kan delen als die een hogere of gelijke exponent heeft als die in de teller.

Wat betreft $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}+3n!}{n^{n}+(3n)!}$

Het lijkt me logisch dat (3n)! sneller stijgt dan 3n! dus wordt de limiet nul. Ik moet dat alleen wel aantonen.

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}+3n!}{n^{n}+(3n)!}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{n}}{n^{n}}+\frac{3n!}{n^{n}}}{\frac{n^{n}}{n^{n}}+\frac{(3n)!}{n^{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+3\cdot \frac{n!}{n^{n}}}{1+\frac{(3n)!}{n^{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+3\cdot 0}{1+\frac{(3n)!}{n^{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{(3n)!}{n^{n}}}$

Voor dat laatste heb ik geen standaardlimiet.

vormfout · Bericht door **vormfout** » 09 mar 2012, 23:03

Voor de andere...
$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)!}{n!+2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{n!}{n!}+\frac{2^{n}}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{1+0}=\infty$

Bericht door **SafeX** » 10 mar 2012, 09:53

vormfout schreef: $\lim_{n\to\infty}\frac{(n+3)!}{n!+2^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+3)!}{n!}}{\frac{n!}{n!}+\frac{2^{n}}{n!}}=\infty$

vormfout schreef:
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^{5}}{4n^{4}+5n^{2}-3}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{2n^{5}}{4n^{4}}}{\frac{4n^{4}}{4n^{4}}+\frac{5n^{2}}{4n^{4}}-\frac{3}{4n^4}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{2}n}{1+\frac{5}{4n^{2}}-\frac{3}{4n^4}}=\infty$

Wat betreft $\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}+3n!}{n^{n}+(3n)!}$

Het lijkt me logisch dat (3n)! sneller stijgt dan 3n! dus wordt de limiet nul. Ik moet dat alleen wel aantonen.

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n}+3n!}{n^{n}+(3n)!}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{n}}{n^{n}}+\frac{3n!}{n^{n}}}{\frac{n^{n}}{n^{n}}+\frac{(3n)!}{n^{n}}}=...$

Hoeveel factoren bevat (3n)! en n^n?

Hoeveel factoren bevat (n+3)! en n!?

Wiskundeforum

Limiet naar oneindig

Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig

Re: Limiet naar oneindig