Bereken volgende integraal d.m.v. substitutie:

phodopus · Bericht door **phodopus** » 10 feb 2007, 15:01

Bereken volgende integraal d.m.v. substitutie:

http://deblanger.awardspace.com/(zie link)

Het antwoord heb ik via maple gevonden, maar de weg tot de oplossing weet ik niet.

Bericht door **Hugo** » 10 feb 2007, 19:43

je kan ook gewoon een vraag stellen, werkt altijd beter

phodopus · Bericht door **phodopus** » 11 feb 2007, 12:00

Ah sorry als het een beetje autoritair overkomt. Het was natuurlijk als vraag bedoeld.

Heeft er iemand een idee?

Vriendelijke groeten

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 11 feb 2007, 15:24

phodopus schreef:Bereken volgende integraal d.m.v. substitutie:

http://deblanger.awardspace.com/(zie link)

Het antwoord heb ik via maple gevonden, maar de weg tot de oplossing weet ik niet.

Door middel van substitutie is vrij lastig, partieel integreren is beter
$\int x\sqrt{x+1} dx$
x diff, $sqrt{x+1} dx$ int. Nu, $\int (x+1)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}$
Dus
$\int x \sqrt{x+1} dx = \frac{2}{3}x(x+1)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} dx$
De laatste integraal bepalen
$\int (x+1)^{\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{5} (x+1)^{\frac{5}{2}}$
Dus
$\int x \sqrt{x+1} dx = \frac{2}{3}x(x+1)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} dx = \frac{2}{3}x(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}$
Verder uitwerken zou het eindresultaat moeten geven...

EDIT: Wijziging, dank je Hugo. (De rest van de onzin posts wis ik even, zijn toch van de admins)

phodopus · Bericht door **phodopus** » 12 feb 2007, 18:25

Alvast bedankt voor de reactie, het moest echter sowieso met substitutie. Geen probleem, ik heb de oplossing gevonden via substitutie.

Vriendelijke groeten, Hendrik.

Bericht door TD » 12 feb 2007, 21:12

Substitutie is helemaal niet lastig en m.i. hier zelfs te verkiezen. Stel:

$x + 1 = y^2 \Leftrightarrow x = y^2 - 1 \Rightarrow dx = 2ydy$

Dan gaat de integraal over in:

$\int {x\sqrt {x + 1} dx} \to \int {\left( {y^2 - 1} \right)y2ydy} = 2\int {y^4 - y^2 dy}$

En die integraal is toch wel erg eenvoudig...

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 12 feb 2007, 22:53

TD schreef:Substitutie is helemaal niet lastig en m.i. hier zelfs te verkiezen. Stel:

$x + 1 = y^2 \Leftrightarrow x = y^2 - 1 \Rightarrow dx = 2ydy$

Dan gaat de integraal over in:

$\int {x\sqrt {x + 1} dx} \to \int {\left( {y^2 - 1} \right)y2ydy} = 2\int {y^4 - y^2 dy}$

En die integraal is toch wel erg eenvoudig...

Ervaring verslaat altijd beginners

Dank je! Nu zie ik dat het beter kan! Moet ik toch even toevoegen aan mijn truc-boekje

Bericht door TD » 12 feb 2007, 22:56

Op die manier kan je een dergelijk product met een vierkantswortel steeds herleiden tot een gewone rationale veelterm, maar met hogere exponenten. Maar hogere exponenten op zich zijn geen probleem, integreren is eenvoudig.

Partiële integratie is eerder nodig wanneer je een product hebt van functies van verschillende 'aard', zoals rationaal mixen met goniometrisch of exponentieel/logaritmisch enz.

Wiskundeforum

Bereken volgende integraal d.m.v. substitutie:

Bereken volgende integraal d.m.v. substitutie:

Re: Bereken volgende integraal d.m.v. substitutie: