Arcsinus van 2a berekenen

prakken · Bericht door **prakken** » 03 jul 2012, 19:16

Stel $\alpha = \arcsin \frac{1}{3}$ , dan $\cos \alpha = \frac{2\sqrt2}{3}$ en $\tan \alpha \frac{\sqrt2}{4}$ hier kwam ik vrij eenvoudig uit, maar de volgende opgave vraagt sin 2a. Ik begrijp even niet zo goed wat ik moet doen nu... Dubbele hoek formule gebruiken? Een hint zou fijn zijn

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 03 jul 2012, 19:47

prakken schreef:Stel $\alpha = \arcsin \frac{1}{3}$ , dan $\cos \alpha = \frac{2\sqrt2}{3}$ en $\tan \alpha \frac{\sqrt2}{4}$ hier kwam ik vrij eenvoudig uit, maar de volgende opgave vraagt sin 2a. Ik begrijp even niet zo goed wat ik moet doen nu... Dubbele hoek formule gebruiken? Een hint zou fijn zijn

Je geeft als idee `dubbele hoek formule gebruiken'... probeer dit, en zie waar je komt! sin (2x) = ..., en vul hier $x = \alpha$ in...

(merk op, wat is $\sin \alpha$ ?)

prakken · Bericht door **prakken** » 03 jul 2012, 20:30

$\sin \alpha = 2\sqrt2$

Ik heb al geprobeerd de dubbele hoek formule toe te passen, maar leek niet echt verder te komen:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 * 2\sqrt2 * \frac{2\sqrt2}{3}$

...

Oh wacht, sin alpha is natuurlijk gewoon 1/3... wat levert 4/9 sqrt 2

prakken · Bericht door **prakken** » 03 jul 2012, 20:42

Ik merk het alweer... Slordigheidsfoutjes alom. Zeer irritant :s

Bericht door **SafeX** » 03 jul 2012, 21:36

prakken schreef: $\sin \alpha = 2\sqrt2$

Zie je hier ook een blunder in? Het is wel belangrijk!

prakken · Bericht door **prakken** » 04 jul 2012, 06:49

Yes, $2\sqrt2$ is niet de sinus, maar de lengte van de 'liggende' zijde.

$1^2 + b^2 = 3^2, b^2 = 8, b = 2\sqrt2$

Bericht door **barto** » 04 jul 2012, 09:55

een sinus kan niet groter zijn dan 1, dus als er een hebt die groter is ben je al niet goed bezig.

Bericht door **SafeX** » 04 jul 2012, 09:58

prakken schreef:Yes, $2\sqrt2$ is niet de sinus, maar de lengte van de 'liggende' zijde.

$1^2 + b^2 = 3^2, b^2 = 8, b = 2\sqrt2$

Maar dit bedoelde ik niet.
Ik hoop dat je weet wat het bereik van sin(x) is als x een reëel getal is.

prakken · Bericht door **prakken** » 04 jul 2012, 14:57

Bereik sinus = [-1, 1] (en 2 sqrt 2 > 1, dus is uberhaupt onmogelijk).
Als draaiingshoek a = 0, dan is sinus 0.
a = pi/2, dan 1, a = pi, dan 0, a = 3/2pi, dan -1. Dit volgens de eenheidscirkel.

prakken · Bericht door **prakken** » 04 jul 2012, 17:40

En toch kom ik er niet uit. Als gegeven dat a = arcsin 1/3, dan, sin a = 1/3.

Nu wordt gevraagd: geef cos 1/2a.

Ik weet dat cos a = 2/3 sqrt 2.

Mijn eerste gedacht was, oke, dan is cos 1/2a vast gelijk aan: 1/2 * 2/3 sqrt 2 = 1/3 sqrt 2.

Dit klopt niet, toen bedacht ik me dat $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)}$ , maar daarmee kom ik ook niet in de buurt...

Iemand een hint de goede richting in?

Bericht door **arno** » 04 jul 2012, 18:01

Stel cos ½a = u, dan geldt: cos a = 2u²-1.

Bericht door **SafeX** » 05 jul 2012, 09:09

prakken schreef:
Ik weet dat cos a = 2/3 sqrt 2.

Mijn eerste gedacht was, oke, dan is cos 1/2a vast gelijk aan: 1/2 * 2/3 sqrt 2 = 1/3 sqrt 2.

Dan zou cos(a/2)=cos(a)/2, maar ook cos(2a)=2cos(a) zijn, ik neem aan dat je een dergelijke formule nergens gezien hebt. Vul eens in bv a=pi/2.

Gebruik de halveringsformule (ken je die?).

prakken · Bericht door **prakken** » 05 jul 2012, 17:56

Ik heb het even opgezocht:

$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$

En volgens mij heb ik hem daarmee ook opgelost

$\cos \alpha = \frac{2}{3}\sqrt2$
$\sqrt{ \frac{1 + \frac{2}{3}\sqrt2}{2}} = \sqrt{ \frac{ \frac{3 + 2\sqrt2}{3}}{2}} = \sqrt{ \frac{ 3 + 2\sqrt2}{6}} = \frac{\sqrt6(\sqrt{3 + 2\sqrt2})}{6} = \frac{1}{6}\sqrt{18 + 12\sqrt2}$

Jammer dat ik niet zelf in staat ben geweest $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos 2\alpha}{2}}$ te herleiden naar $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ .

Toch te weinig begrip van de materie. Terwijl ik het nu type en op een groot whiteboard werk zie ik het wel in eens.

Bericht door **SafeX** » 06 jul 2012, 11:44

prakken schreef: $\cos \alpha = \frac{2}{3}\sqrt2$
$\sqrt{ \frac{1 + \frac{2}{3}\sqrt2}{2}} = \sqrt{ \frac{ \frac{3 + 2\sqrt2}{3}}{2}} = \sqrt{ \frac{ 3 + 2\sqrt2}{6}} = \frac{\sqrt6(\sqrt{3 + 2\sqrt2})}{6} = \frac{1}{6}\sqrt{18 + 12\sqrt2}$

Ga na dat het volgende klopt:

$\frac{1}{6}\sqrt{18 + 12\sqrt2}=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

Wiskundeforum

Arcsinus van 2a berekenen

Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen

Re: Arcsinus van 2a berekenen