Limiet bereken exponentiele functie

prakken · Bericht door **prakken** » 15 jul 2012, 16:34

Ik begrijp dat $\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ , want aangezien x -> 0, mogen we stellen dat e^x = (1 + x), levert dus x/x = 1.

Nu heb ik een, voor mijn gevoel, wat lastigere opgave. Ik begrijp niet hoe ik de x - 1 in de noemeer weggewerkt krijg. De antwoorden vertellen me dat ik substitutie moet toepassen, maar ik begrijp de regels daar niet goed voor.

Bereken: $\lim_{ x \to 1 }\frac{e^x - e}{x - 1}$ .

Ik dacht aan zoiets: $\lim_{ x \to 1 }\frac{e(1^x - 1)}{x - 1}$ , maar dat helpt me niet echt verder ( tenzij ik 1^x zou mogen herschrijven naar x). Hoe kom ik hier verder mee?

Bericht door **SafeX** » 15 jul 2012, 16:42

Stel x-1=y, wat doet y als x nadert tot 1 ...

prakken · Bericht door **prakken** » 15 jul 2012, 17:07

y wordt dan steeds kleiner:

x y
0.9 0.1
0.99 0.01
0.999 0.001
0.9999 0.0001
0.99999 0.00001

Bericht door **arno** » 15 jul 2012, 17:12

Andere hint: waartoe nadert x-1 als x tot 1 nadert?

prakken · Bericht door **prakken** » 15 jul 2012, 17:18

Bericht door **SafeX** » 15 jul 2012, 18:37

Maar nu toepassen ...

prakken · Bericht door **prakken** » 15 jul 2012, 18:55

Maar als x 1 nadert, zal y = x - 1, 0 benaderen. Dan ontstaat er toch een nul-deling?

Bericht door **SafeX** » 15 jul 2012, 19:12

Laat eerst eens je 'nieuwe' limiet zien ...

prakken · Bericht door **prakken** » 15 jul 2012, 20:16

y = x - 1, dus x = y + 1.

$\lim_{ y \to 0 }\frac{e^{y + 1} - e}{y}$ zoiets?

Bericht door **SafeX** » 15 jul 2012, 21:20

Kan je een factor e uit de teller halen ... ?

prakken · Bericht door **prakken** » 15 jul 2012, 21:24

Bericht door **barto** » 15 jul 2012, 22:07

$e^{y+1}=e*...$ ?

Dus $e^{y+1}-e=e*(...-1)$ .

prakken · Bericht door **prakken** » 16 jul 2012, 07:10

$e^{y + 1} = e^y * e^1$

$e^{y + 1} = e(e^y - 1)$

$\lim_{ y \to 0 }\frac{e(e^y - 1)}{y}$

Als y 0 benadert, zal e^y 1 benaderen, en e^y - 1 / y kun je dan tegen elkaar wegstrepen en houd je e over?
Oftewel: $e^y - 1 = y$ als $\lim_{ y \to 0 }$

Oooh, en dat corresepondeert natuurlijk weer met $e^x = x + 1$ als $\lim_{ x \to 0 }$

Klopt dat?

Bericht door **SafeX** » 16 jul 2012, 10:06

$e^{y + 1} = e^y * e^1$

$e^{y + 1} = e(e^y - 1)$

$\lim_{ y \to 0 }\frac{e(e^y - 1)}{y}=e$

Oftewel: $e^y - 1 = y$
In dit verband, teken (netjes) de grafieken van y=e^x-1 en y=x eens ...

prakken · Bericht door **prakken** » 16 jul 2012, 10:54

Ja, die zijn gelijk voor kleine x (dus als x->0)

Wiskundeforum

Limiet bereken exponentiele functie

Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie

Re: Limiet bereken exponentiele functie