Differentialen

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Differentialen

Bericht door prakken » 01 aug 2012, 17:44

Gegeven: , gevraagd: geef d(f(x)).

Ik begrijp even niet zo goed hoe ik met de sin 2x moet werken.

Mijn oplossing is tot nu toe als volgt:

Helaas moet het

Waar komt vandaan? De primitieve van sin x = - cos x, toch?
Laatst gewijzigd door prakken op 01 aug 2012, 17:51, 1 keer totaal gewijzigd.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Differentialen

Bericht door arno » 01 aug 2012, 17:48

Als F'(x) = sin ax, wat is dan F(x)? Anders geformuleerd: wat is de primitieve van sin ax?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 01 aug 2012, 17:58

Ja, dat is de vraag, ik weet dat de primitieve van sin x = - cos x.

Het feit dat zaait wat verwarring bij me.
Waarom niet niet dan?

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: Differentialen

Bericht door Kinu » 01 aug 2012, 18:24

Eigenlijk vergelijkbaar met de kettingregel voor afgeleiden heb je ook zoiets voor integralen.
Er geldt inderdaad , want .

Als je nu het volgende zegt:
dan wil dat zeggen dat wat niet overeenkomt met , nl. er ontbreekt een factor .

Je moet dus een substitutie gebruiken, heb je dit al eerder gedaan bij integreren?

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 01 aug 2012, 18:43

Nee, helaas nog niets gedaan met integreren... Het is allemaal nieuw voor me!

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: Differentialen

Bericht door Kinu » 01 aug 2012, 18:59

prakken schreef:Nee, helaas nog niets gedaan met integreren... Het is allemaal nieuw voor me!
Ok, dan komt dat later wel. Probeer dus nu een beetje te zoeken. Als we even het voorbeeld hernemen
, vermits de primitieve van inderdaad is lijkt het logisch dat de primitieve van nu is, maar als je dus gaat afleiden zie je dat er een factor ontbreekt die je dus nog moet toevoegen.

Begrijp je de gedachtengang?
Als je eenmaal wat integratietechnieken onder de knie hebt zal het duidelijker worden.

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 01 aug 2012, 19:02

Goed punt inderdaad, ik had mijn oplossing moeten afleiden om het te controleren en bij te sturen

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 02 aug 2012, 18:06

Ik heb even uitgewerkt, om er wat meer gevoel bij te krijgen:













Dat gezegd hebbende is het me nog steeds niet helemaal duidelijk hoe ik als f(x) = sin 2x kom naar F(x)...

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 02 aug 2012, 19:43

Gevraagd is:


Nou was mijn gedachtegang als volgt:


Dit is exact hoe mijn gedachtengang is gegaan, maar ik heb nu geen gebruik (misschien expliciet?) van de gegeven formules (som, ketting etc) gemaakt. Nu heb ik al gecontroleerd dat het antwoord wel klopt (en dat lijkt me ook logisch aanngezien tan x * cos x = sin x, maar klopt m'n redenering ook?

Ergens vind ik het eigenlijk wel leuk, dit is echt puzzelen :)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Differentialen

Bericht door SafeX » 02 aug 2012, 21:55

En als je je uitkomst differentieert ... , iets wat je altijd moet doen!

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: Differentialen

Bericht door Kinu » 03 aug 2012, 03:48

Er zit nog een fout in je redenering die nu geen gevolgen heeft, maar in andere gevallen wel, nl.
prakken schreef:
De eerste stap is goed en de primitieve is correct, maar na de 2de gelijkheid gebruik je een integratieregel die je niet mag toepassen, nl. je integreert factor na factor in een product wat niet mag, maar in dit geval niet uitmaakt aangezien die toch wegvalt. Om correct te zijn:


Om je fout in te zien neem bijvoorbeeld het volgende geval:

Als ik zou volgen wat jij doet zou de primitieve zijn:
(factor na factor integreren)
Terwijl het moet zijn

(Ga dit eventueel na door de primitieve te differentieren)

Begrijp je waar het probleem zat?

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 03 aug 2012, 10:09

Kinu schreef:Er zit nog een fout in je redenering die nu geen gevolgen heeft, maar in andere gevallen wel, nl.
prakken schreef:
De eerste stap is goed en de primitieve is correct, maar na de 2de gelijkheid gebruik je een integratieregel die je niet mag toepassen, nl. je integreert factor na factor in een product wat niet mag, maar in dit geval niet uitmaakt aangezien die toch wegvalt. Om correct te zijn:
Oke, maar dan vind ik die uitkomst niet zo evident, waar uit volgt dat dan? Nu dacht ik dat het voor de hand liggend zou zijn, maar dat is het dus niet? Anders gezegd, uit welke stappen/regels volgt dat: f(x) = sin x => F(x) = - cos x? Gewoon iets proberen en het resultaat differentieren lijkt me niet echt een vruchtbare manier om hier achter te komen :lol:

Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Differentialen

Bericht door SafeX » 03 aug 2012, 10:48

prakken schreef: Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen
Of is een bewijs hiervoor ...
Wat bedoel je met: "hiervoor"?

prakken
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 120
Lid geworden op: 03 dec 2011, 12:52

Re: Differentialen

Bericht door prakken » 03 aug 2012, 11:13

Laat deze vraag maar. Ik neem het gewoon aan en differentieer om m'n antwoorden te controleren.

Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Re: Differentialen

Bericht door Kinu » 03 aug 2012, 12:54

prakken schreef: Oke, maar dan vind ik die uitkomst niet zo evident, waar uit volgt dat dan? Nu dacht ik dat het voor de hand liggend zou zijn, maar dat is het dus niet? Anders gezegd, uit welke stappen/regels volgt dat: f(x) = sin x => F(x) = - cos x? Gewoon iets proberen en het resultaat differentieren lijkt me niet echt een vruchtbare manier om hier achter te komen :lol:

Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen
Dat volgt uit de eigenschap dat als je de primitieve differentieert je de integrand krijgt. Als je integreert dan ga je proberen altijd de integraal zo te schrijven (m.b.v substituties e.d) totdat je een zogenaamde standaardintegraal verkrijgt waarvan je de primitieve kent. Je kan zo'n lijst van standaardintegralen op het internet of normaal gezien ook in jouw handboek vinden en en zijn twee van die standaardintegralen.

Plaats reactie