Differentialen
Differentialen
Gegeven: , gevraagd: geef d(f(x)).
Ik begrijp even niet zo goed hoe ik met de sin 2x moet werken.
Mijn oplossing is tot nu toe als volgt:
Helaas moet het
Waar komt vandaan? De primitieve van sin x = - cos x, toch?
Ik begrijp even niet zo goed hoe ik met de sin 2x moet werken.
Mijn oplossing is tot nu toe als volgt:
Helaas moet het
Waar komt vandaan? De primitieve van sin x = - cos x, toch?
Laatst gewijzigd door prakken op 01 aug 2012, 17:51, 1 keer totaal gewijzigd.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Differentialen
Als F'(x) = sin ax, wat is dan F(x)? Anders geformuleerd: wat is de primitieve van sin ax?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Differentialen
Ja, dat is de vraag, ik weet dat de primitieve van sin x = - cos x.
Het feit dat zaait wat verwarring bij me.
Waarom niet niet dan?
Het feit dat zaait wat verwarring bij me.
Waarom niet niet dan?
Re: Differentialen
Eigenlijk vergelijkbaar met de kettingregel voor afgeleiden heb je ook zoiets voor integralen.
Er geldt inderdaad , want .
Als je nu het volgende zegt:
dan wil dat zeggen dat wat niet overeenkomt met , nl. er ontbreekt een factor .
Je moet dus een substitutie gebruiken, heb je dit al eerder gedaan bij integreren?
Er geldt inderdaad , want .
Als je nu het volgende zegt:
dan wil dat zeggen dat wat niet overeenkomt met , nl. er ontbreekt een factor .
Je moet dus een substitutie gebruiken, heb je dit al eerder gedaan bij integreren?
Re: Differentialen
Nee, helaas nog niets gedaan met integreren... Het is allemaal nieuw voor me!
Re: Differentialen
Ok, dan komt dat later wel. Probeer dus nu een beetje te zoeken. Als we even het voorbeeld hernemenprakken schreef:Nee, helaas nog niets gedaan met integreren... Het is allemaal nieuw voor me!
, vermits de primitieve van inderdaad is lijkt het logisch dat de primitieve van nu is, maar als je dus gaat afleiden zie je dat er een factor ontbreekt die je dus nog moet toevoegen.
Begrijp je de gedachtengang?
Als je eenmaal wat integratietechnieken onder de knie hebt zal het duidelijker worden.
Re: Differentialen
Goed punt inderdaad, ik had mijn oplossing moeten afleiden om het te controleren en bij te sturen
Re: Differentialen
Ik heb even uitgewerkt, om er wat meer gevoel bij te krijgen:
Dat gezegd hebbende is het me nog steeds niet helemaal duidelijk hoe ik als f(x) = sin 2x kom naar F(x)...
Dat gezegd hebbende is het me nog steeds niet helemaal duidelijk hoe ik als f(x) = sin 2x kom naar F(x)...
Re: Differentialen
Gevraagd is:
Nou was mijn gedachtegang als volgt:
Dit is exact hoe mijn gedachtengang is gegaan, maar ik heb nu geen gebruik (misschien expliciet?) van de gegeven formules (som, ketting etc) gemaakt. Nu heb ik al gecontroleerd dat het antwoord wel klopt (en dat lijkt me ook logisch aanngezien tan x * cos x = sin x, maar klopt m'n redenering ook?
Ergens vind ik het eigenlijk wel leuk, dit is echt puzzelen
Nou was mijn gedachtegang als volgt:
Dit is exact hoe mijn gedachtengang is gegaan, maar ik heb nu geen gebruik (misschien expliciet?) van de gegeven formules (som, ketting etc) gemaakt. Nu heb ik al gecontroleerd dat het antwoord wel klopt (en dat lijkt me ook logisch aanngezien tan x * cos x = sin x, maar klopt m'n redenering ook?
Ergens vind ik het eigenlijk wel leuk, dit is echt puzzelen
Re: Differentialen
En als je je uitkomst differentieert ... , iets wat je altijd moet doen!
Re: Differentialen
Er zit nog een fout in je redenering die nu geen gevolgen heeft, maar in andere gevallen wel, nl.
Om je fout in te zien neem bijvoorbeeld het volgende geval:
Als ik zou volgen wat jij doet zou de primitieve zijn:
(factor na factor integreren)
Terwijl het moet zijn
(Ga dit eventueel na door de primitieve te differentieren)
Begrijp je waar het probleem zat?
De eerste stap is goed en de primitieve is correct, maar na de 2de gelijkheid gebruik je een integratieregel die je niet mag toepassen, nl. je integreert factor na factor in een product wat niet mag, maar in dit geval niet uitmaakt aangezien die toch wegvalt. Om correct te zijn:prakken schreef:
Om je fout in te zien neem bijvoorbeeld het volgende geval:
Als ik zou volgen wat jij doet zou de primitieve zijn:
(factor na factor integreren)
Terwijl het moet zijn
(Ga dit eventueel na door de primitieve te differentieren)
Begrijp je waar het probleem zat?
Re: Differentialen
Oke, maar dan vind ik die uitkomst niet zo evident, waar uit volgt dat dan? Nu dacht ik dat het voor de hand liggend zou zijn, maar dat is het dus niet? Anders gezegd, uit welke stappen/regels volgt dat: f(x) = sin x => F(x) = - cos x? Gewoon iets proberen en het resultaat differentieren lijkt me niet echt een vruchtbare manier om hier achter te komenKinu schreef:Er zit nog een fout in je redenering die nu geen gevolgen heeft, maar in andere gevallen wel, nl.De eerste stap is goed en de primitieve is correct, maar na de 2de gelijkheid gebruik je een integratieregel die je niet mag toepassen, nl. je integreert factor na factor in een product wat niet mag, maar in dit geval niet uitmaakt aangezien die toch wegvalt. Om correct te zijn:prakken schreef:
Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen
Re: Differentialen
Of is een bewijs hiervoor ...prakken schreef: Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen
Wat bedoel je met: "hiervoor"?
Re: Differentialen
Laat deze vraag maar. Ik neem het gewoon aan en differentieer om m'n antwoorden te controleren.
Re: Differentialen
Dat volgt uit de eigenschap dat als je de primitieve differentieert je de integrand krijgt. Als je integreert dan ga je proberen altijd de integraal zo te schrijven (m.b.v substituties e.d) totdat je een zogenaamde standaardintegraal verkrijgt waarvan je de primitieve kent. Je kan zo'n lijst van standaardintegralen op het internet of normaal gezien ook in jouw handboek vinden en en zijn twee van die standaardintegralen.prakken schreef: Oke, maar dan vind ik die uitkomst niet zo evident, waar uit volgt dat dan? Nu dacht ik dat het voor de hand liggend zou zijn, maar dat is het dus niet? Anders gezegd, uit welke stappen/regels volgt dat: f(x) = sin x => F(x) = - cos x? Gewoon iets proberen en het resultaat differentieren lijkt me niet echt een vruchtbare manier om hier achter te komen
Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen