Wiskundeforum

Gegeven: $(3 + x + \sin 2x)dx$ , gevraagd: geef d(f(x)).

Ik begrijp even niet zo goed hoe ik met de sin 2x moet werken.

Mijn oplossing is tot nu toe als volgt: $3x + \frac{1}{2}x^2 - \cos 2x$

Helaas moet het $3x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\cos 2x$

Waar komt $\frac{1}{2}$ vandaan? De primitieve van sin x = - cos x, toch?

Als F'(x) = sin ax, wat is dan F(x)? Anders geformuleerd: wat is de primitieve van sin ax?

Ja, dat is de vraag, ik weet dat de primitieve van sin x = - cos x.

Het feit dat $\sin(x + 1) dx = d(- \cos(x + 1))$ zaait wat verwarring bij me.
Waarom niet niet $(\sin 2x )dx = d(- \cos 2x)$ dan?

Eigenlijk vergelijkbaar met de kettingregel voor afgeleiden heb je ook zoiets voor integralen.
Er geldt inderdaad $\int \sin(x)dx = -\cos(x)+C$ , want $\frac{d}{dx}\left[-\cos(x)+C\right]=\sin(x)$ .

Als je nu het volgende zegt:
$\int \sin(2x)dx = -\cos(2x)+C$ dan wil dat zeggen dat $\frac{d}{dx}\left[-\cos(2x)+C\right] = 2\sin(2x)$ wat niet overeenkomt met $\sin(2x)$ , nl. er ontbreekt een factor $\frac{1}{2}$ .

Je moet dus een substitutie gebruiken, heb je dit al eerder gedaan bij integreren?

Nee, helaas nog niets gedaan met integreren... Het is allemaal nieuw voor me!

prakken schreef:Nee, helaas nog niets gedaan met integreren... Het is allemaal nieuw voor me!

Ok, dan komt dat later wel. Probeer dus nu een beetje te zoeken. Als we even het voorbeeld hernemen
$d(\sin(2x))$ , vermits de primitieve van $\sin(x)$ inderdaad $-\cos(x)$ is lijkt het logisch dat de primitieve van $\sin(2x)$ nu $-\cos(2x)$ is, maar als je dus $-\cos(2x)$ gaat afleiden zie je dat er een factor $\frac{1}{2}$ ontbreekt die je dus nog moet toevoegen.

Begrijp je de gedachtengang?
Als je eenmaal wat integratietechnieken onder de knie hebt zal het duidelijker worden.

Goed punt inderdaad, ik had mijn oplossing moeten afleiden om het te controleren en bij te sturen

Ik heb even $\frac{d}{dx} - \cos x = \sin x$ uitgewerkt, om er wat meer gevoel bij te krijgen:

$\frac{d}{dx} - \cos x = \lim_{h \to 0} \frac{- \cos(x + h) + \cos x}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{- (\cos x \cos h - \sin x \ sin h) + \cos x}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{- \cos x \cos h + \sin x \ sin h + \cos x}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos x (-\cos h + 1) + \sin x \ sin h}{h}$

$\lim_{h \to 0} \cos x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\cos h + 1}{h} + \lim_{h \to 0} \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$

$\cos x \cdot 0 + \sin x \cdot 1 = \sin x$

Dat gezegd hebbende is het me nog steeds niet helemaal duidelijk hoe ik als f(x) = sin 2x kom naar F(x)...

Gevraagd is:
$\int \tan x \cos x \: dx$

Nou was mijn gedachtegang als volgt:

$\int \tan x \cos x \: dx \equiv \int \frac{\sin x}{\cos x} \cos x \: dx = \frac{- \cos x}{\sin x} \sin x + C \equiv - \cos x + C$
Dit is exact hoe mijn gedachtengang is gegaan, maar ik heb nu geen gebruik (misschien expliciet?) van de gegeven formules (som, ketting etc) gemaakt. Nu heb ik al gecontroleerd dat het antwoord wel klopt (en dat lijkt me ook logisch aanngezien tan x * cos x = sin x, maar klopt m'n redenering ook?

Ergens vind ik het eigenlijk wel leuk, dit is echt puzzelen

En als je je uitkomst differentieert ... , iets wat je altijd moet doen!

Er zit nog een fout in je redenering die nu geen gevolgen heeft, maar in andere gevallen wel, nl.

prakken schreef: $\int \tan x \cos x \: dx \equiv \int \frac{\sin x}{\cos x} \cos x \: dx = \frac{- \cos x}{\sin x} \sin x + C \equiv - \cos x + C$

De eerste stap is goed en de primitieve is correct, maar na de 2de gelijkheid gebruik je een integratieregel die je niet mag toepassen, nl. je integreert factor na factor in een product wat niet mag, maar in dit geval niet uitmaakt aangezien die $\cos(x)$ toch wegvalt. Om correct te zijn:
$\int \tan(x)\cos(x)dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cos(x)dx = \int \sin(x)dx = -\cos(x)+C$

Om je fout in te zien neem bijvoorbeeld het volgende geval:
$\int \sin(x)\cos(x)dx$
Als ik zou volgen wat jij doet zou de primitieve zijn:
$-\cos(x)\sin(x)+C$ (factor na factor integreren)
Terwijl het moet zijn
$\int \sin(x)\cos(x)dx = \frac{-1}{2}\cos^2(x)+C$
(Ga dit eventueel na door de primitieve te differentieren)

Begrijp je waar het probleem zat?

Kinu schreef:Er zit nog een fout in je redenering die nu geen gevolgen heeft, maar in andere gevallen wel, nl.
prakken schreef: $\int \tan x \cos x \: dx \equiv \int \frac{\sin x}{\cos x} \cos x \: dx = \frac{- \cos x}{\sin x} \sin x + C \equiv - \cos x + C$
De eerste stap is goed en de primitieve is correct, maar na de 2de gelijkheid gebruik je een integratieregel die je niet mag toepassen, nl. je integreert factor na factor in een product wat niet mag, maar in dit geval niet uitmaakt aangezien die $\cos(x)$ toch wegvalt. Om correct te zijn:
$\int \tan(x)\cos(x)dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cos(x)dx = \int \sin(x)dx = -\cos(x)+C$

Oke, maar dan vind ik die uitkomst niet zo evident, waar uit volgt dat dan? Nu dacht ik dat het voor de hand liggend zou zijn, maar dat is het dus niet? Anders gezegd, uit welke stappen/regels volgt dat: f(x) = sin x => F(x) = - cos x? Gewoon iets proberen en het resultaat differentieren lijkt me niet echt een vruchtbare manier om hier achter te komen

Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen

prakken schreef: Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen

Of is een bewijs hiervoor ...
Wat bedoel je met: "hiervoor"?

Laat deze vraag maar. Ik neem het gewoon aan en differentieer om m'n antwoorden te controleren.

prakken schreef: Oke, maar dan vind ik die uitkomst niet zo evident, waar uit volgt dat dan? Nu dacht ik dat het voor de hand liggend zou zijn, maar dat is het dus niet? Anders gezegd, uit welke stappen/regels volgt dat: f(x) = sin x => F(x) = - cos x? Gewoon iets proberen en het resultaat differentieren lijkt me niet echt een vruchtbare manier om hier achter te komen

Of is een bewijs hiervoor dermate ingewikkeld dat ik het gewoon als gegeven moet aannemen

Dat volgt uit de eigenschap dat als je de primitieve differentieert je de integrand krijgt. Als je integreert dan ga je proberen altijd de integraal zo te schrijven (m.b.v substituties e.d) totdat je een zogenaamde standaardintegraal verkrijgt waarvan je de primitieve kent. Je kan zo'n lijst van standaardintegralen op het internet of normaal gezien ook in jouw handboek vinden en $\int \cos(x) dx = \sin(x)+C$ en $\int \sin(x)dx = -\cos(x)+C$ zijn twee van die standaardintegralen.

Wiskundeforum

Differentialen

Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen

Re: Differentialen