voetbalwedstrijd

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
arne-jan
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 16 nov 2012, 22:40

voetbalwedstrijd

Bericht door arne-jan » 20 jan 2013, 23:29

Ik ben nog maar net met de vorige klaar en ik heb alweer een nieuwe. :wink:

Een voetbalwedstrijd heeft als ruststand 2 - 1 en als eindstand 4 - 5.
Hoeveel mogelijke spelverlopen zijn er?
Ik heb echt geen idee hoe ik dit moet berekenen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3243
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door arie » 20 jan 2013, 23:50

Stel team A speelt tegen B
Kijk dan eerst naar de eerste helft: er worden daarin 3 doelpunten gemaakt:
A maakt er 2 en B maakt er 1.

Het spelverloop wordt bepaald door wie het eerste, wie het tweede en wie het derde doelpunt maakt.

Geef nu elk van de doelpunten van A weer door een a en het doelpunt van B door een b.
Elk rijtje van 2 a's en 1 b vormt dan een spelverloop van de eerste helft.
Bijvoorbeeld:
a,a,b: A maakt het eerste en het tweede doelpunt, B het derde doelpunt, en hierbij
hoort het spelverloop 1-0, 2-0, 2-1
Hoeveel verschillende rijtjes kan je maken met 2 a's en 1 b (dus hoeveel spelverlopen zijn er voor de eerste helft)?
Kan je dit uitdrukken in combinaties (denk aan nCr) ?

Hoe zit dit voor de tweede helft?

Hoeveel mogelijke spelverlopen zijn er dus voor de totale wedstrijd?

arne-jan
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 16 nov 2012, 22:40

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door arne-jan » 21 jan 2013, 11:20

De rijtjes van de eerste helft zijn:

a,a,b
a,b,a
b,a,a
= 3 rijtjes

Met combinaties is het denk ik iets als:

n= 3 (doelpunten totaal eerste helft)
r= 2 (doelpunten team A)

3nCr2 = 3
En dit is het aantal manieren dat ik met die rijtjes had gemaakt.

De tweede helft zou dan zijn:

6 doelpunten gescoord
Team A 4 doelpunten gescoord

6nCr4 = 15
Dus in de 2e helft zijn er 15 manieren hoe het spel kan verlopen.


15 + 3 = 18
Of als het vermenigvuldigen is dan is het:
15 x 3 = 45
Ik weet niet welke ik moet doen.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14247
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door SafeX » 21 jan 2013, 12:29

arne-jan schreef: Ik heb echt geen idee hoe ik dit moet berekenen.
Je hebt ongetwijfeld van een boomdiagram gehoord, dat is hier het eenvoudigst.

arne-jan
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 16 nov 2012, 22:40

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door arne-jan » 21 jan 2013, 12:59

Dan kom ik bij de eerst helft uit op

3 mogelijkheden

En bij de tweede helft uit op

15 mogelijkheden

Maar ik wil liever toch verder gaan op de manier van arie omdat daar het hoofdstuk over gaat en ik het op de toets waarschijnlijk ook met nCr moet uitrekenen.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3243
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door arie » 21 jan 2013, 13:58

Indien je het met combinaties op wilt lossen:

Eerste helft:

In de eerste helft waren er 3 doelpunten waaruit A er 2 moet kiezen:
dat geeft 3 nCr 2 = 3 mogelijkheden.

Noot: doorgaans geven we de voorkeur aan deze notatie:



(dit is de gebruikelijke notatie, nCr is de afkorting hiervoor op je rekenmachine, sommige docenten willen niet dat je nCr gebruikt)

Merk op dat als de doelpunten van A gekozen zijn, B het overgebleven doelpunt maakt.
Je kan ook het ene doelpunt van B uit de 3 mogelijkheden kiezen, hiervoor zijn er



mogelijkheden.
Je ziet dat daar hetzelfde uitkomt.

Het aantal mogelijkheden voor de eerste helft had je zelf ook al gevonden.


Tweede helft:

In de tweede helft zijn er 6 doelpunten gescoord: A 2 en B 4
(je schreef A 4, maar dat is de eindstand, mogelijk een schrijffout).

Er zijn 6 nCr 2 = 15 manieren om de 2 doelpunten van A uit die 6 te kiezen, de overige 4 zijn voor B.
(of: er zijn 6 nCr 4 = 15 manieren om de 4 doelpunten van B uit die 6 te kiezen, de overige 2 zijn voor A.)


Totale wedstrijd:

Er zijn 3 verschillende mogelijke spelverlopen voor de eerste helft
EN
er zijn 15 verschillende mogelijke spelverlopen voor de tweede helft

Voor elk van de 3 spelverlopen van de eerste helft hebben we 15 mogelijke spelverlopen voor de tweede helft.
Hoeveel mogelijke spelverlopen hebben we dan in totaal?
(zie je nu of we moeten optellen of moeten vermenigvuldigen?)


(vergelijk dit zo nodig met een afvaardiging van 1 jongen EN 1 meisje uit een klas met
10 jongens en 12 meisjes, hoeveel afvaardigingen zijn er mogelijk?)

arne-jan
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 23
Lid geworden op: 16 nov 2012, 22:40

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door arne-jan » 21 jan 2013, 21:45

hmm.. Ik denk dat ik het snap.

Dus bij de afgevaardigde jongenes en meisjes is het

Bij de jongens:

10nCr1 = 10

En bij de meisjes:
12nCr1 = 12

10 x 12 = 120 verschillende mogelijkheden.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3243
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: voetbalwedstrijd

Bericht door arie » 21 jan 2013, 22:21

Klopt.

Als je voor 1 gebeurtenis P mogelijkheden hebt, en voor een andere gebeurtenis Q mogelijkheden, dan kan je die 2 gebeurtenissen op P x Q manieren combineren/samenstellen.
In ons geval:
- voor de wedstrijd: 1e helft 3 mogelijkheden, 2e helft 15 mogelijkheden, totale wedstrijd, dus eerste EN tweede helft: 3x15 = 45 mogelijkheden
- afvaardiging: 1 jongen 10 mogelijkheden, 1 meisje 12 mogelijkheden, afvaardiging van 1 jongen EN 1 meisje: 10x12 = 120 mogelijkheden.
(dit noemen we ook wel de productregel van het tellen)

LET OP: Een andere situatie is deze:
Stel je hebt voor 1 gebeurtenis weer P mogelijkheden, en voor een andere gebeurtenis weer Q mogelijkheden.
Als je nu 1 moet kiezen uit gebeurtenis 1 OF gebeurtenis 2, dan heb je daarvoor P + Q mogelijkheden.
Voorbeeld:
Als je slechts 1 leerling afvaardigt uit dezelfde klas als hierboven, dan kan dat een jongen OF een meisje zijn.
Er zijn 10 manieren om een jongen te kiezen, en 12 manieren om een meisje te kiezen.
Je kan dus op 10+12 = 22 manieren 1 persoon (jongen OF meisje) uit deze klas kiezen.
Dit is logisch, want je hebt 22 nCr 1 = 22 mogelijkheden om 1 persoon uit 22 te kiezen.
(dit is de somregel van het tellen)

(vuistregel: meestal betekent OF in een opgave 'optellen', en betekent EN 'vermenigvuldigen' van mogelijkheden)

Plaats reactie