Ongelijkheid en absolute waarde

Eddy · Bericht door **Eddy** » 21 feb 2013, 15:57

Hoi,

Hoe zou ik onderstaande aan kunnen pakken met algebra.
$x^4\geq |x|^3$

Alvast bedankt!

Bericht door **arie** » 21 feb 2013, 16:41

Splits de ongelijkheid in x<0 en x>=0:
voor x<0 is |x| = -x
voor x>=0 is |x| = x

Jij hebt:
$x^4\geq |x|^3$
ofwel
$x^4\geq (|x|)^3$

Los dus op:
$\left( x < 0 \text{ EN } x^4\geq (-x)^3 \right)$
OF
$\left( x \geq 0 \text{ EN } x^4\geq (x)^3 \right)$

Lukt het zo?

Eddy · Bericht door **Eddy** » 21 feb 2013, 21:53

Los dus op:
$\left( x < 0 \text{ EN } x^4\geq (-x)^3 \right)$
OF
$\left( x \geq 0 \text{ EN } x^4\geq (x)^3 \right)$

Lukt het zo?

Ik ga het proberen

$x < 0 \text{ en } (x \leq -1 \text{ of } x \geq 0)$
of
$x \geq 0 \text{ en } (x \leq 0 \text{ of } x \geq 1)$
Klopt dit? Weet nog niet helemaal hoe ik verder moet helaas.
Zijn de "en" en "of" echte wiskundige operaties met iets van regels om ze samen te nemen?

Bericht door **arie** » 22 feb 2013, 08:21

Dit zijn echte wiskundige operaties.
Er moet gelden:

$\lerft( x < 0 \wedge (x \leq -1 \vee x \geq 0)\right) \vee$
$\left(x \geq 0 \wedge (x \leq 0 \vee x \geq 1)\right)$

Kan je deze oplossing in vereenvoudigde vorm weergeven?

Eddy · Bericht door **Eddy** » 22 feb 2013, 11:03

arie schreef:Dit zijn echte wiskundige operaties.
Er moet gelden:

$\lerft( x < 0 \wedge (x \leq -1 \vee x \geq 0)\right) \vee$
$\left(x \geq 0 \wedge (x \leq 0 \vee x \geq 1)\right)$

Kan je deze oplossing in vereenvoudigde vorm weergeven?

Ik ben behoorlijk aan het googlen geweest en kwam in de verzamelingenleer terecht

.

Volgens mij werkt het nu zo "en" of een intersection betekent waar de verzamelingen overlappen. "Of" de union voegt de verzamelingen samen. Klopt dit een beetje?

In mijn geval krijg ik dan:
$\lerft( x < 0 \wedge (x \leq -1 \vee x \geq 0)\right) \vee$ $\left(x \geq 0 \wedge (x \leq 0 \vee x \geq 1)\right)$
wordt
$x \leq -1 \vee x \geq 1$

** Ik kwam (ook in Latex) iets andere symbolen tegen voor union en intersection (zal eens kijken of daar ook nl. termen voor zijn). $\text{union} \cap \text{ipv} \wedge \newline \text{intersection} \cup \text{ipv} \vee$ Ik neem aan dat de symbolen geen verschil maken toch?

Bericht door **arie** » 22 feb 2013, 11:43

Je bent in bovenstaande oplossing nog 1 mogelijke waarde van x vergeten, welke?

Hoe ben je in het algemeen gewend de oplossing voor dit soort problemen te noteren?:
- als vergelijkingen?
- als verzamelingen?
- notatie met intervallen?

De logische 'EN' = $\wedge$ en de 'OF' = $\vee$ gebruiken we tussen beweringen,
De vereniging = union = $\cup$ en de doorsnede = intersection = $\cap$ gebruiken we tussen verzamelingen (let op: deze had je in je beschrijving net omgewisseld).
Zie bv http://nl.wikipedia.org/wiki/Verzamelin ... #Operaties

Een voorbeeld van verschillende notaties:

de verzameling

$\{x \in \mathbb{R} | x<2 \vee x \geq 6 \}$

kan je ook schrijven als:

$< \leftarrow, 2> \cup \;\[ 6, \rightarrow >$

Merk op: er is wel een nauwe samenhang tussen deze symbolen:

$(x \in A \wedge x \in B) \Leftrightarrow x \in A \cap B$

en

$(x \in A \vee x \in B) \Leftrightarrow x \in A \cup B$

Eddy · Bericht door **Eddy** » 22 feb 2013, 19:10

arie schreef:Je bent in bovenstaande oplossing nog 1 mogelijke waarde van x vergeten, welke?

Oeps x=0 inderdaad
$\lerft( x < 0 \wedge (x \leq -1 \vee x \geq 0)\right) \vee$ $\left(x \geq 0 \wedge (x \leq 0 \vee x \geq 1)\right)$
wordt
$\{x \in \mathbb{R} | x=0, x \leq -1 \vee x \geq 1 \}$

arie schreef: Hoe ben je in het algemeen gewend de oplossing voor dit soort problemen te noteren?:
- als vergelijkingen?
- als verzamelingen?
- notatie met intervallen?

Uhm ik doe aan zelfstudie met behulp van het Basisboek Wiskunde. Dus ik heb niet echt een standaard manier om oplossingen te noteren. Zoals het hierboven staat is wel heel mooi.

arie schreef: De logische 'EN' = $\wedge$ en de 'OF' = $\vee$ gebruiken we tussen beweringen,
De vereniging = union = $\cup$ en de doorsnede = intersection = $\cap$ gebruiken we tussen verzamelingen (let op: deze had je in je beschrijving net omgewisseld).
Zie bv http://nl.wikipedia.org/wiki/Verzamelin ... #Operaties

Die nuances waren mij ontgaan. Bedankt voor de heldere uitleg.

Bericht door **arie** » 22 feb 2013, 19:28

Eddy schreef: ...
$\{x \in \mathbb{R} | x=0, x \leq -1 \vee x \geq 1 \}$
...

Dit schrijven we wiskundig als

$\{x \in \mathbb{R} | x=0 \vee x \leq -1 \vee x \geq 1 \}$

(de komma is leestekstnotatie)
Verder is het OK.

PS:
Wat je antwoord nog wel net iets netter maakt is als je de volgorde van de getallenlijn aanhoudt, dus:

$\{x \in \mathbb{R} | x \leq -1 \vee x=0 \vee x \geq 1 \}$

Eddy · Bericht door **Eddy** » 22 feb 2013, 22:01

arie schreef: PS:
Wat je antwoord nog wel net iets netter maakt is als je de volgorde van de getallenlijn aanhoudt, dus:
$\{x \in \mathbb{R} | x \leq -1 \vee x=0 \vee x \geq 1 \}$

Nice ik zal het onthouden!

Helaas lukt de techniek mij nog niet helemaal

Dit is allemaal erg nieuw voor mij. Zie de volgende opgave:

$\sqrt{|{1-x}|} = x \newline \newline |1-x| \geq x^2 \newline x > 1 \wedge (x^2-x+1 \geq 0) \vee x \leq 1 \wedge (x^2+x-1\leq 0) \newline (x > 1 \wedge x) \vee (x \leq 1 \wedge \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \newline x \leq \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \vee x > 1$

Zo dat was een hoop algebra. Probleem is dat x helemaal niet groter dan 1 mag zijn. Wat heb ik fout gedaan?

Bericht door **SafeX** » 23 feb 2013, 09:51

Eddy schreef:Zie de volgende opgave:

$\sqrt{|{1-x}|} = x$

Hier staat geen ongelijkheid ...
Teken ook de beide grafieken van linker- en rechterlid in één figuur.

Eddy · Bericht door **Eddy** » 23 feb 2013, 16:59

SafeX schreef: Hier staat geen ongelijkheid ...

Ik had een typefout gemaakt. Erg dom van mij

Hieronder heb ik opgave herhaalt zonder de typefout.

SafeX schreef: Teken ook de beide grafieken van linker- en rechterlid in één figuur.

De tekening heb ik al klaar. Ik probeer nu dit soort opgaven met alleen algebra te maken.

Nogmaals de opgave (met mijn foute algebra):

$\sqrt{|{1-x}|} \geq x \newline \newline |1-x| \geq x^2 \newline x > 1 \wedge (x^2-x+1 \geq 0) \vee x \leq 1 \wedge (x^2+x-1\leq 0) \newline (x > 1 \wedge x) \vee (x \leq 1 \wedge \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{-1+\sqrt{5}}{2}) \newline x \leq \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \vee x > 1$

Zo dat was een hoop algebra. Probleem is dat x helemaal niet groter dan 1 mag zijn (kan ik zien aan de hand van mijn tekening). Hopelijk heeft iemand een hint.

Bericht door **arie** » 23 feb 2013, 17:15

Het is wel altijd handig op klad een plaatje te maken, of in ieder geval een getallenlijn, met daarop aangegeven wanneer beide kanten van de ongelijkheid gelijk zijn.

Kijk nu eerst eens naar bv x = -3:

Is deze ongelijkheid waar voor x = -3:

$\sqrt{|{1-x}|} \geq x$

en is deze ongelijkheid waar voor x = -3:

$|1-x| \geq x^2$

Wat gaat er mis?

Eddy · Bericht door **Eddy** » 25 feb 2013, 14:18

Sorry dat zo traag reageer. Ik moest er echt over nadenken.

arie schreef: Wat gaat er mis?

Naar het kwadrateren gaat de ongelijkheid niet meer op voor -3 en dat is inderdaad niet de bedoeling.

Ik had het volgende bedacht. Gegeven:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$

Voor x < 0: $(x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x)$

x > 1 maakt de uitdrukken onder het wortel teken negatief.
Ik verwijder het absolute waarde teken nu dus voor ik aan de slag ga met de wortel. (Is dit wiskundig juist?)
De wortelfunctie is niet gedefinieerd voor x < 0.

Met de laatste opmerking over de wortelfunctie in achterhoofd de volgende stap: $(x > 1) \wedge (x \leq 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x)$

x > 1 en x <= 1 sluiten elkaar volledig uit. Dus geen oplossing.

Nu voor x >= 0: $(x \leq 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x)$

x <= 1 maakt de uitdrukken onder het wortel teken positief. Dus over negatieve waarden hoef ik me hier niet druk te maken.

De uitwerking:
$(x \leq 1) \wedge (1-x \geq x^2)$ --> kwadrateren
$(x\leq 1) \wedge (x^2+x-1 \leq 0)$ --> sorteren
$(x\leq 1) \wedge [\frac{1}{2}(-\sqrt{5}-1)\leq x \leq \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)]$ --> kwadratische ongelijkheid opgelost
$x \leq \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$ --> het "en" symbool uitgewerkt
... en dat is het antwoord.

De grote vraag voor mij is dus klopt deze wiskunde? Het gaat me niet om het antwoord maar puur om de wiskunde.

arie schreef:Het is wel altijd handig op klad een plaatje te maken, of in ieder geval een getallenlijn, met daarop aangegeven wanneer beide kanten van de ongelijkheid gelijk zijn.

Als ik dit weet dan heb ik het antwoord toch al? Immers de punten waarop beide gelijk zijn verdeelt de getallenlijn in intervallen. Voor iedere interval kan ik gewoon controleren of de ongelijkheid opgaat.

Bericht door **SafeX** » 25 feb 2013, 19:05

Begin eens opnieuw maar dan met:
1. x>=1 ...
2. x<1 ...

Waarom eigenlijk?

Eddy · Bericht door **Eddy** » 25 feb 2013, 20:29

Ik zie dat alles wat ik gedaan had voor de leesbaarheid verloren gaat in de nieuwe forum layout dus nog even een screenshot:

SafeX schreef:Begin eens opnieuw maar dan met:
1. x>=1 ...
2. x<1 ...
Waarom eigenlijk?

Mijn uitwerking is onjuist? Alles komt toch precies uit. Ik weet niet waarom ik x >= 1 en x < 1 in mijn logica kwam het namelijk precies omgekeerd uit.
1-x is neg voor x > 1
1-x is pos voor x <=1

Wiskundeforum

Ongelijkheid en absolute waarde

Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde