Ongelijkheid en absolute waarde

Bericht door **SafeX** » 25 feb 2013, 20:45

Een opmerking:
1. Je hebt |1-x|, dus omslagpunt x=1
2. Linkerlid een wortel, dus eis rechterlid niet negatief

Eddy · Bericht door **Eddy** » 25 feb 2013, 20:52

SafeX schreef:Een opmerking:
1. Je hebt |1-x|, dus omslagpunt x=1
2. Linkerlid een wortel, dus eis rechterlid niet negatief

Ja beide punten die je maakt zijn waar. Misschien gebruik ik de termen positief en negatief verkeerd want absolute waarde is altijd positief.

Het is mij nog niet helemaal duidelijk om mijn uitwerking goed is?

Bericht door **SafeX** » 25 feb 2013, 21:44

Bedoel je dit:

Eddy schreef:
Ik had het volgende bedacht. Gegeven:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$

Voor x < 0: $(x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x)$

x > 1 maakt de uitdrukken onder het wortel teken negatief.

Ik verwijder het absolute waarde teken nu dus voor ik aan de slag ga met de wortel. (Is dit wiskundig juist?)

Voor x < 0: $(x > 1)$

Dit is strijdig ...

[*]De wortelfunctie is niet gedefinieerd voor x < 0.[/list]

Wat bedoel je hier? Er staat toch niet: $\sqrt{x}$

Probeer het nog eens zoals ik eerder aangaf ...

Eddy · Bericht door **Eddy** » 25 feb 2013, 21:52

SafeX schreef:Bedoel je dit:

Eddy schreef:
Ik had het volgende bedacht. Gegeven:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$

Voor x < 0: $(x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x)$

x > 1 maakt de uitdrukken onder het wortel teken negatief.

Ik verwijder het absolute waarde teken nu dus voor ik aan de slag ga met de wortel. (Is dit wiskundig juist?)

Voor x < 0: $(x > 1)$
Dit is strijdig ...

[*]De wortelfunctie is niet gedefinieerd voor x < 0.[/list]
Wat bedoel je hier? Er staat toch niet: $\sqrt{x}$

Probeer het nog eens zoals ik eerder aangaf ...

Ik zie nu wat je bedoelt Safex. Er staan een aantal heel vreemde zaken in mijn uitwerking. Zoals met "De wortel functie is niet gedefinieerd voor x < 0" had ik willen zeggen dat je niet de wortel kunt nemen van een negatief getal. Ik had nooit x daar moeten gebruiken omdat er dan verwarring ontstaat met de x uit de opgave. Ik ga proberen mijn uitwerking beter te formuleren. Hopelijk wil je er dan nog eens naar kijken.

Eddy · Bericht door **Eddy** » 25 feb 2013, 23:02

Nogmaals mijn uitwerking. Hopelijk nu zonder tegenstrijdigheden.

Ik had het volgende bedacht.
Gegeven:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$
$\left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x) \right ] \vee \left [ (x \leq 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$ --> de absolute waarde weggewerkt

**Ik werk beide gevallen (links en rechts van het "of" symbool) apart uit voor de overzichtelijkheid.**

$(x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x)$
Opmerkingen:
1) x > 1 maakt de uitdrukken binnen het absolute waarde teken negatief. Vandaar de -x in het linkerlid.
2) De wortelfunctie is niet gedefinieerd voor getallen kleiner dan 0.
Met opmerking 2 over de wortelfunctie in het achterhoofd de volgende stap: $(x > 1) \wedge (x \leq 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x)$
x > 1 en x <= 1 sluiten elkaar volledig uit. Dus geen oplossing.

(Zoals verwacht aan de hand van mijn tekening.)

$(x \leq 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x)$
Opmerking: x <= 1 maakt de uitdrukken binnen het absolute waarde teken positief. Dus over negatieve waarden hoef ik me hier niet druk te maken.
De uitwerking:
$(x \leq 1) \wedge (1-x \geq x^2)$ --> kwadrateren
$(x\leq 1) \wedge (x^2+x-1 \leq 0)$ --> sorteren
$(x\leq 1) \wedge [\frac{1}{2}(-\sqrt{5}-1)\leq x \leq \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)]$ --> kwadratische ongelijkheid opgelost
$x \leq \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$ --> het "en" symbool uitgewerkt
... en dat is het antwoord.

Conclusie:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$ als $\left \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) \right \}$

De grote vraag voor mij is dus klopt deze wiskunde? Of ben ik per ongeluk tegen het juist antwoord aangelopen. Het gaat me niet om het antwoord maar puur om de wiskunde.

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2013, 08:44

Eddy schreef: Gegeven:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$
$\left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x) \right ] \vee \left [ (x \leq 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$ --> de absolute waarde weggewerkt

Dit is niet goed, waarom vul je geen getallen voor x in ...

$\sqrt{|1-x|} \geq x$

$\left [ (0\le x \le 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$

Ga dit zorgvuldig na!

Opm: het rechterlid kan je natuurlijk niet veranderen!

Eddy · Bericht door **Eddy** » 26 feb 2013, 14:15

SafeX schreef:
Eddy schreef: Gegeven:
$\sqrt{|1-x|} \geq x$
$\left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq -x) \right ] \vee \left [ (x \leq 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$ --> de absolute waarde weggewerkt
Dit is niet goed, waarom vul je geen getallen voor x in ...

Dat is een heel goede vraag. Ben bang dat ik geprobeerd heb de techniek van arie één-op-één toe te passen op dit probleem. Deze sommen zijn nieuw voor mij. Maar als ik 2 invul krijg ik -1 onder het wortelteken en dat is onzin.

$\sqrt{|1-x|} \geq x$

$\left [ (0\le x \le 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$

Ga dit zorgvuldig na!

Okay ik snap wat je gedaan hebt x-1 is inderdaad positief wanneer x > 1 en dus de juiste uitwerking van de absolute waarde.

Opm: het rechterlid kan je natuurlijk niet veranderen!

Het rechterlid is altijd groter of gelijk aan nul in deze opgave. Dus inderdaad -x stellen was fout.

Vraagje kan ik vanuit hier gewoon verder door te kwadrateren?

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2013, 16:16

Ja, je zal nu de ongelijkheid moeten oplossen met (natuurlijk) in acht name van de voorwaarde.

Eddy · Bericht door **Eddy** » 26 feb 2013, 19:12

Okay zover ben ik gekomen:
Gegevens: $\sqrt{|1-x|} \geq x$
Uitwerking:
$\left [ (0 \leq x \leq 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x)\right ]$ /absolute waarde uitgewerkt
$\left [ (0 \leq x \leq 1) \wedge (1-x \geq x^2) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (x-1 \geq x^2)\right ]$ /kwadrateren
$\left [ (0 \leq x \leq 1) \wedge (x^2+x-1 \leq 0) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (x^2-x+1 \leq 0)\right ]$ /sorteren
$\left [ (0 \leq x \leq 1) \wedge \left (\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right ) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\text{geen x})\right ]$ /ong. uitgewerkt
$0 \leq x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ /ongelijkheden samengenomen
Opmerking: bovenstaand antwoord krijg ik ook wanneer ik de eerste regel van de uitwerking met Wolfram Alpha bereken. http://www.wolframalpha.com/input/?i=0+ ... 9+%3E%3D+x
Jammer genoeg word de link niet geheel klikbaar.

Wat in de laatste stap staat is dus strijdig met het antwoord $x \leq \frac{\sqrt{5} -1}{2}$ maar ik begrijp niet helemaal wat er fout gaat. Nog een hint alsjeblieft.

Bonus vraagje: wat voor notatie gebruik ik in een situatie wanneer ik 'geen x' krijg zoals hierboven. Of hoe zou ik 'alle x' noteren.

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2013, 19:59

Eddy schreef: $\left [ (0 \leq x \leq 1) \wedge \left (\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right ) \right ]$

Wat in de laatste stap staat is strijdig met het antwoord $x \leq \frac{\sqrt{5} -1}{2}$ maar ik begrijp niet helemaal wat er fout gaat. Nog een hint alsjeblieft.
Bonus vraagje: wat voor notatie gebruik ik in een situatie wanneer ik 'geen x' krijg zoals hierboven. Of hoe zou ik 'alle x' noteren.

Je werkt dit niet uit er staat immers: $(0 \leq x \leq 1)\wedge ...$

Eddy · Bericht door **Eddy** » 26 feb 2013, 20:03

SafeX schreef:
Eddy schreef: $\left [ (0 \leq x \leq 1) \wedge \left (\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right ) \right ]$

Wat in de laatste stap staat is strijdig met het antwoord $x \leq \frac{\sqrt{5} -1}{2}$ maar ik begrijp niet helemaal wat er fout gaat. Nog een hint alsjeblieft.
Bonus vraagje: wat voor notatie gebruik ik in een situatie wanneer ik 'geen x' krijg zoals hierboven. Of hoe zou ik 'alle x' noteren.
Je werkt dit niet uit er staat immers: $(0 \leq x \leq 1)\wedge ...$

Hoi Safex ik had mijn vorige post al aangepast. Wil je nog eens naar kijken?

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2013, 20:13

Ja, dat is uiteindelijk het antwoord omdat bv x=-10 voldoet ...

Eddy · Bericht door **Eddy** » 26 feb 2013, 20:24

SafeX schreef:Ja, dat is uiteindelijk het antwoord omdat bv x=-10 voldoet ...

Volgens mij hebben een communicatieprobleem

. Ik zal het allemaal even duidelijk neerzetten. Zie ook dat -10 niet voldoet aan de uitwerking hieronder.

SafeX schreef: $\sqrt{|1-x|} \geq x$

$\left [ (0\le x \le 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$

Uitwerking van het bovenstaande geeft: $0 \leq x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ dit heb ik gecontroleerd met Wolfram Alpha.

Het antwoord moet echter zijn: $x \leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (dus niet groter dan of gelijk aan 0.)

Bericht door **SafeX** » 26 feb 2013, 20:35

Je kan dit completeren met:

$\left [ x<0 \wedge (\sqrt{|1-x|} > x) \right ]\vee \left [ (0\le x \le 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$

Eddy · Bericht door **Eddy** » 26 feb 2013, 21:24

SafeX schreef:Je kan dit completeren met:

$\left [ x<0 \wedge (\sqrt{|1-x|} > x) \right ]\vee \left [ (0\le x \le 1) \wedge (\sqrt{1-x} \geq x) \right ] \vee \left [ (x > 1) \wedge (\sqrt{x-1} \geq x) \right ]$

Dit begrijp ik niet meer. Ik studeer geen wiskunde hé

.

Ik wou graag het volgende voorleggen.
Gegeven: $\sqrt{|1-x|} \geq x$
Absolute waarde uitwerken: $x > 1 \wedge {\color{Red} \sqrt{x-1} \geq x} \vee x \leq 1 \wedge \sqrt{1-x} \geq x$
De ongelijkheid in rood is voor geen enkele x waar. Maar dat is prima want de originele som is nooit waar voor x > 1.

Wat vinden jullie hiervan? Als ik bovenstaande uitwerk kom ik in ieder geval op het juiste antwoord.

Wiskundeforum

Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde

Re: Ongelijkheid en absolute waarde