Goniometrische stelling bewijzen

Post hier al je algemene vragen over wiskunde in het voortgezetonderwijs /1ste graad ASO-TSO-BSO.
Plaats reactie
Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door Jokke » 28 sep 2013, 14:53

Beste wiskundevrienden,

Ik ben aan een oefening beland waar ik mee vast zit.
Het is volgende goniometrische stelling die bewezen zou moeten worden:

sinA . tanA = 1/cosA - cosA

Zou een van jullie wiskundeknobbels mij een handje kunnen helpen?

Alvast bedankt,

Jokke

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door arno » 28 sep 2013, 17:03

Maak eens gebruik van het gegeven dat .
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door Jokke » 29 sep 2013, 08:56

Bedankt Arno, ik denk dat ik het met je hulp gevonden heb.
Kan dit kloppen?

sinA.tanA = 1/cosA-cosA
sinA.(sinA/cosA) = 1/cosA-cosA
cosA.(sinA.(sinA/cosA)) = cosA.(1/cosA-cosA)
sinA.sinA = 1-cosA.cosA
sinA²+cosA² = 1 (grondformule van de goniometrie)

Veel groeten,
Jokke

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door arno » 29 sep 2013, 18:48

Jokke schreef:Bedankt Arno, ik denk dat ik het met je hulp gevonden heb.
Kan dit kloppen?

sinA.tanA = 1/cosA-cosA
sinA.(sinA/cosA) = 1/cosA-cosA
cosA.(sinA.(sinA/cosA)) = cosA.(1/cosA-cosA)
sinA.sinA = 1-cosA.cosA
sinA²+cosA² = 1 (grondformule van de goniometrie)

Veel groeten,
Jokke
Schrijf sin A∙tan A eens als . Wat kun je nu voor sin² A schrijven om op het resultaat uit te komen?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door Jokke » 01 okt 2013, 14:25

Ziet er inderdaad beter uit zo :) .
Ik denk dat je 1 - cos²A nodige hebt om tot het uiteindelijke resultaat te komen (klopt he!)

Intussen heb ik er nog een waar ik al meer als een uur aan bezig ben (deze lijkt me iets moeilijker):

cosA . (tanA + 2) . (2 . tanA + 1) = 2/cosA + 5 . sinA

Ik denk dat ik een en ander moet wegwerken maar ik heb geen idee hoe hieraan te beginnen.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door SafeX » 01 okt 2013, 17:10

Wat heb je geprobeerd ...

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door Jokke » 01 okt 2013, 19:28

Ik denk dat ik hem gevonden heb:

Eerst tanA vervangen door sinA/cosA -> cosA.(sinA/cosA + 2).(2.sinA/cosA + 1) = 2/cosA + 5.sinA
Eerste vermenigvuldiging uitwerken en schrappen -> (sinA + 2.cosA).(2.sinA/cosA + 1) = 2/cosA + 5.sinA
Tweede vermenigvuldiging uitwerken en schrappen -> 2.sin²A/cosA + sinA + 4.sinA + 2cosA = 2/cosA + 5.sinA
Vereenvoudigen en 5.sinA over het gelijkheidsteken brengen -> 2.sin²A/cosA + 5.sinA + 2.cosA - 5.sinA = 2/cosA
Vereenvoudigen en aan elke kant vermenigvuldigen met cosA -> cosA.(2.sin²A/cosA + 2.cosA) = 2
Uitwerken -> 2.sin²A + 2.cos²A = 2
2.(sin²A + cos²A) = 2

Ik denk dat dit klopt :D of kan ik stappen of bewerkingen op een betere manier aanpakken.
Altijd leuk als een oefening uiteindelijk lijkt te lukken.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door SafeX » 01 okt 2013, 20:30

Mooi, je hebt het gevonden ...
Het is echter de bedoeling dat je van het linkerlid (ll) uitgaande het rechterlid (rl) aantoont of andersom!

Je kan in principe je werkwijze volgen:

Dus ll uitwerken op jouw manier:
Jokke schreef: 2.sin²A/cosA + sinA + 4.sinA + 2cosA = ...
Wat hoef je nog alleen aan te tonen?

Jokke
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 20
Lid geworden op: 05 apr 2013, 20:20

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door Jokke » 01 okt 2013, 22:12

Bedankt voor de tip. Als ik het goed begrijp kan je best één van de kanten proberen omvormen tot hetzelfde als de andere kant van het = teken.

Is dit dan de manier:

2.sin²A/cosA + sinA + 4.sinA + 2.cosA = 2/cosA + 5.sinA
2.sin²A/cosA + 2.cosA + 5.sinA = 2/cosA + 5.sinA
Op gelijke noemer zetten -> (2.sin²A + 2.cos²A)/cosA + 5.sinA = 2/cosA + 5.sinA
2.(sin²A + cos²A)/cosA + 5.sinA = 2/cosA + 5.sinA
2.1/cosA + 5.sinA = 2/cosA + 5.sinA
2/cosA + 5.sinA = 2/cosA + 5.sinA

Heel erg bedankt voor de hulp!!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Goniometrische stelling bewijzen

Bericht door SafeX » 13 okt 2013, 19:25

Prima!

Plaats reactie