Bewijs logaritmische ongelijkheid

[Kinu]

Gevraagd:
Toon aan dat voor elke x element van (0,+oneindig) geldt: log(x) <= 2sqrt(x) - 2

Ik dacht aan iets als:

log(x) <= 2(sqrt(x)-1)
<-> log(x).1/2 <= sqrt(x)-1
<-> log(sqrt(x)) <= sqrt(x)-1
<-> log(sqrt(x)) - sqrt(x) +1 <= 0

Substitutie: Stel sqrt(x) = t
Resolvente:
log(t) - t +1 <=0

Ik weet nu niet helemaal hoe verder te gaan. Iemand misschien beter suggesties?
Bvd,
Kinu

[op=op]

Zeg .

Je kunt een nulpunt geven/raden van .
Welk nulpunt is dat?
Als voor , dan ligt de complete grafiek van f dus onder (of op) de x-as.
De x-as zal dan de raaklijn zijn in dat nulpunt aan de grafiek van f.
Kun je hier iets mee?

[Kinu]

Zeg .

Je kunt een nulpunt geven/raden van .
Welk nulpunt is dat?
Als voor , dan ligt de complete grafiek van f dus onder (of op) de x-as.
De x-as zal dan de raaklijn zijn in dat nulpunt aan de grafiek van f.
Kun je hier iets mee?

Het nulpunt raden brengt me tot: t=1
Immers:
log(1) - 1+1 = 0

Aangetoond:
log(t) - t + 1 = 0
<-> 1 = t - log(t)
<-> log(10) = t - log(t)
<-> log(10) = logt(10^t) - log(t)
<-> log(10) - log(10^t) = -log(t)
<-> log(10/10^t) = -log(t)
<-> log(10^(1-t)) = log(1/t)
<-> 10^(1-t) = 1/t
<-> t=1

Immer is t=sqrt(x). Dus 1 = sqrt(x) <-> x=1
Ik snap niet zo goed wat ik met die raaklijn kan aantonen?
Ik zou nu denken ik heb een x gevonden waarvoor de ongelijkheid voldeed en bovendien was die x(=1) een element van de gevraagde verzameling. Maar hiermee heb ik volgens mij nog niet aangetoond dat dit voor alle x geldt en dus loop ik vast ... .

[op=op]

Je kunt aantonen dat f stijgt voor x<1 en daalt voor x>1.

[Kinu]

Je kunt aantonen dat f stijgt voor x<1 en daalt voor x>1.

Bedoel je dan voor f: log(sqrt(x)) - sqrt(x) + 1

Is het dan voldoende om te bewijzen dat:
Stel ik neem een x1 en x2 uit een gekozen interval waarbij: x1<x2. Als daar uit zou volgen dat f(x1)<f(x2) dan is de functie stijgend.
Of? ...

[op=op]

Zeg .
Differentiëren.
Dan is .
is stijgend voor x<1 als voor x<1,
en is dalend voor x>1 als voor x>1.

[Kinu]

Zeg .
Differentiëren.
Dan is .
is stijgend voor x<1 als voor x<1,
en is dalend voor x>1 als voor x>1.

Ok. Dat volg ik, maar ik weet nu nog niet helemaal goed of we nu hebben aangetoond of de ongelijkheid geldt voor elke x ... ?

[op=op]

Als f stijgt voor t<1 en daalt voor t>1 en f(1)=0, dan is f(t)<=0 voor alle t, dus

en dat is wat je nog te bewijzen had.

[Kinu]

Als f stijgt voor t<1 en daalt voor t>1 en f(1)=0, dan is f(t)<=0 voor alle t, dus

en dat is wat je nog te bewijzen had.

Ok! Bedankt voor je hulp .

[meneer van Hoesel]

ln(x); 2√x −2; ln(x) − (2√x −2)

NB. Dit is géén bewijs, alléén maar een test/demo voor het online-graphen van functies. Kijk op Online Grafieken tekenen voor meer informatie