integreren naar oneindig van tan(x)^7 * sec(x)^3

[hiddem]

nou goed hoe kan ik die integreren naar oneindig?
of iig hoe kan ik eenvoudig het antwoord vinden, waar moet ik beginnen?

antwoord is 1/9 sec^9 (x) -3/7 sec^7(x) +3/5 sec^5(x) -1/3 sec^3(x) + c

bvd,
Hidde

[SafeX]

nou goed hoe kan ik die integreren naar oneindig?
of iig hoe kan ik eenvoudig het antwoord vinden, waar moet ik beginnen?

antwoord is 1/9 sec^9 (x) -3/7 sec^7(x) +3/5 sec^5(x) -1/3 sec^3(x) + c

bvd,
Hidde

De aanhef van je opg is niet duidelijk. Volgens het antwoord moet je tan^7(x)*sec^3(x) primitiveren.
De integrand is te schrijven in de vorm sin^7(x)/cos^10(x). En van de factoren sin(x) 'schuif' je onder de d. Dus

sin^6(x)=(1-cos²(x))³=... , delen door cos^10(x) geeft vier termen neg machten van cos(x).
Je kan nu termsgewijs primitiveren, denk daarbij aan y^(-p) geeft geprimitiveerd naar y als primitieve:

en voor y kan je cos(x) schrijven.

[Keith]

Kan dit ook lukken met substitutie tg x = t ?

Dan is sin x = t / (1+t²)
Dan is cos x = 1/(1+t²)

Dan kan je t^7 / (1+t²)^7 /1/(1/(1+t²)^12) ---> 12 door de aangepaste differentiaal

Dat is t^7*(1+t²)^5... Een hele omweg waarschijnlijk...

Maar het verlagen van de graad is inderdaad een heel mooie methode om dit op te lossen...