Krommen in de ruimte

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
henkoegema
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Krommen in de ruimte

Bericht door henkoegema » 28 jun 2020, 15:33

Boek:
Basiswiskunde
Een oefenboek voor havo,vwo,hbo, universiteit
Jan van de Craats en Rob Bosch
Voorlopige versie, 26 februarie 2005.

In bovenstaand boek op blz 161 heb ik de uitleg in Geogebra gesimuleerd.
Het gaat hierbij om de ruimtelijke kromme:

Afbeelding

https://www.geogebra.org/classic/cvrhsrhg

Wat ik niet kan verklaren is waarom punt P (bijna) stilstaat als z=0 wordt. :o
Dat is precies op het moment dat punt P door het grondvlak heen komt.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Krommen in de ruimte

Bericht door arie » 28 jun 2020, 21:44

De snelheid in x-richting kan je benaderen via

\(v_x(t) \approx \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t}\)

waarbij je \(\Delta t\) heel klein kiest (als je kan differentiëren gebruik je de afgeleide)
Bijvoorbeeld:

We kiezen tijdstip \(t = -1\) en \(\Delta t = 0.001\):

\(v_x(t) \approx \frac{\cos(8\pi(t+\Delta t)^3 - \cos(8\pi t^3)}{\Delta t}\)

\(= \frac{\cos(8\pi(-1+0.001)^3 - \cos(8\pi (-1)^3)}{0.001}\)

\(= \frac{\cos(8\pi(-0.999)^3 - \cos(8\pi (-1)^3)}{0.001}\)

\(= \frac{0.997164575042291-1}{0.001} = -2.8354249577\)


Ditzelfde voor \(v_y(t)\) en \(v_z(t)\)
In bovenstaand voorbeeld kom ik uit op
\(v_y(-1) = 75.251646365558\)
\(v_z(-1) = 2.997001\)


De totale snelheid van je punt op de kromme op tijdstip t is dan:

\(v(t) = \sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2+v_z(t)^2}\)

en in ons voorbeeld op t = -1:

\(v(-1) = \sqrt{v_x(-1)^2+v_y(-1)^2+v_z(-1)^2}\)

\(= \sqrt{(-2.8354249577)^2+75.251646365558^2+2.997001^2} \approx 75.36\)


Op dezelfde wijze vind ik voor de snelheid op t = -0.5:

\(v(-0.5) \approx 18.826\)

Dit is al een stuk lager dan op t = -1.


Lukt het je om nu zelf de snelheid op tijdstip t = -0.1 te benaderen?

henkoegema
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Krommen in de ruimte

Bericht door henkoegema » 29 jun 2020, 17:01

Bij deze mijn dank voor de (zeer) uitgebreide uitleg.
Dat heeft mij zeer geholpen.

Snelheid op tijdstip t=-0.2 is 3.01832 (m.b.v. afgeleide)
Snelheid op tijdstip t=-0.1 is 0.75458
Snelheid op tijdstip t=-0.001 is 0.00008
Snelheid op tijdstop t=0 is 0
Hoelang blijft die (de bewegende stip) dan op 0 staan, voordat die weer verder gaat?
Als \(t^3\) vervangen wordt door t, dan wordt de spiraal wel constant(?) doorlopen (denk ik)

Intuïtief dacht ik dat de snelheid op zo'n regelmatige kromme constant zou zijn. :roll:
Maar dat is dus niet zo.

(Dit is voor mij een deel uit de wiskunde die ik (50 jaar geleden) nooit zelf gehad heb.)
(Nu doe ik het alleen voor m'n plezier.)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Krommen in de ruimte

Bericht door arie » 29 jun 2020, 19:14

M.b.v. de afgeleide en gebruik van de kettingregel krijgen we:

\(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \cos(8\pi t^3)}{dt} = -\sin(8\pi t^3) \cdot 24\pi t^2\)

\(v_y(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \sin(8\pi t^3)}{dt} = \cos(8\pi t^3) \cdot 24\pi t^2\)

\(v_z(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d t^3}{dt} = 3 t^2\)

en

\(v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 +v_y(t)^2 +v_z(t)^2 }\)

\(= \sqrt{\sin^2(8\pi t^3) \cdot (-24\pi t^2)^2 + \cos^2(8\pi t^3) \cdot (24\pi t^2)^2 + (3t^2)^2}\)

\(= \sqrt{\left[\sin^2(8\pi t^3) + \cos^2(8\pi t^3) \right]\cdot (24\pi t^2)^2 + (3t^2)^2}\)

gebruik nu: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\(= \sqrt{(24\pi t^2)^2 + (3t^2)^2}\)

\(= \left( \sqrt{(24\pi)^2 + 3^2} \right)\cdot t^2\)

\(= \sqrt{576\pi ^2 + 9} \cdot t^2\)

\(\approx 75.457883 \cdot t^2\)

En dat geeft deze parabool van v(t) als functie van tijd t:

Afbeelding

Op tijd t=0 is de snelheid v(0) = 0.
De bewegende punt op de curve komt dus tot stilstand, en gaat dan direct daarna weer verder:
alleen op tijdstip t=0 is de snelheid nul.

De versnelling a is de afgeleide van v naar t, voor t<0 is deze negatief, dus wordt er geremd,
voor t>0 is deze positief, dus wordt er versneld.
Als de punt een massa m zou hebben, dan betekent dit dat er een kracht F=m*a op zou werken.
Dat is vergelijkbaar met een auto die eerst afremt en volledig tot stilstand komt, en direct daarna weer optrekt.


Als we \(t^3\) vervangen door t, dan krijgen we:

\(v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \cos(8\pi t)}{dt} = -\sin(8\pi t) \cdot 8\pi \)

\(v_y(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d \sin(8\pi t)}{dt} = \cos(8\pi t) \cdot 8\pi \)

\(v_z(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d t}{dt} = 1\)

en wordt

\(v(t) = \sqrt{64 \pi^2 + 1} \approx 25.1526277\)

Dit is dus een constante snelheid, onafhankelijk van t.

henkoegema
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Krommen in de ruimte

Bericht door henkoegema » 30 jun 2020, 12:59

Als het uitgelegd wordt, is (lijkt) het allemaal zo makkelijk.
Maar er zelf opkomen is toch iets anders.

Nogmaals bedankt. :)

(Hoop dat ik niet te veel vragen stel)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3461
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Krommen in de ruimte

Bericht door arie » 30 jun 2020, 22:41

Vragen stellen over onduidelijkheden is altijd goed, en zeker dit soort verdiepingsvragen die wat verder gaan dan je boek.
Altijd welkom.

Plaats reactie