Oefening rest na deling

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
martinvdb
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 03 aug 2020, 23:09

Oefening rest na deling

Bericht door martinvdb » 03 aug 2020, 23:18

Hallo, ik zit vast bij de volgende vraag: De rest na deling van een tweedegraadsveelterm f(x) door x-2 is 7. De rest na deling van dezelfde veelterm door x-1 is 4.
Hoeveel bedraagt de rest na deling van de veelterm door (x^2)-3x+2? Het antwoord zou 3x+1 moeten zijn.
Ik heb de tweedegraads veelterm ax^2+bx+c genoemd en met horner gedeeld door 2 dan kwam ik 4a+2b+c=7 uit en vervolgens ook dezelfde veelterm via horner gedeeld door 1 dan kwam ik a+b+c=4 uit. Ik heb dus 2 vergelijking en 3 onbekenden. Ik weet dat er niet gevraagd wordt naar a,b of c maar hoe zou ik verder moeten? Alvast bedankt

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3513
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Oefening rest na deling

Bericht door arie » 04 aug 2020, 08:56

Via jouw route:
4a + 2b + c = 7
a + b + c = 4
trek de 2e gelijkheid van de eerste af:
3a + b = 3
b = -3a + 3
Stel a = k (met k een geheel getal),
dan is b = -3k + 3
en c = 4 - a - b = 4 - k + 3k - 3 = 2k + 1

Je veelterm ax^2 + bx + c
wordt dus:
k*x^2 + (-3k+3)*x + 2k + 1
= k*x^2 - 3k*x + 2k + 3x + 1
= k*(x^2 - 3x + 2) + 3x + 1

Dus welk getal k ook is, deling door (x^2 - 3x + 2) zal altijd rest 3x + 1 geven.


ALTERNATIEF 1:
Als we een 2e graads veelterm delen door een andere 2e graads veelterm (met coefficient
van x^2 = 1), dan kan de rest bij die deling hoogstens een 1e graads veelterm zijn.
Noem die rest (m*x + n)
Nu is gegeven
f ÷ (x-2) geeft rest 7
f ÷ (x-1) geeft rest 4
Als we nu ook weten dat
f ÷ ((x-2)*(x-1)) rest (m*x+n) geeft,
dan is er een geheel getal k, zodanig dat
f = k * ((x-2)*(x-1)) + (m*x+n)
Maar dan moet
(m*x+n) ÷ (x-2) rest 7 geven
want k * ((x-2)*(x-1)) is restloos deelbaar door (x-2),
en moet
(m*x+n) ÷ (x-1) rest 4 geven
want k * ((x-2)*(x-1)) is ook restloos deelbaar door (x-1),
Via horner levert dit:
2m + n = 7
m + n = 4
Los dit stelsel op en je hebt de gevraagde rest gevonden.


ALTERNATIEF 2:
Via de Chinese reststelling, waarbij voor je veelterm f moet gelden:
f ≡ 7 mod (x-2)
f ≡ 4 mod (x-1)
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Chinese_reststelling)

martinvdb
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 03 aug 2020, 23:09

Re: Oefening rest na deling

Bericht door martinvdb » 04 aug 2020, 10:55

Heel erg bedankt voor uw heldere en duidelijke uitleg!

Plaats reactie