Vergelijking

[Johnny]

Hallo iedereen,

Voor mijn opleiding dienen we voor het bepalen van constructieve gegevens een aanname te doen. Uiteindelijk dienen we te controleren of de uitkomst voldoet aan een bepaalde waarde. Alleen ik denk dat het mogelijk is om terug te rekenen zodat deze aanname overbodig is.

Dit kan vertaald worden naar de volgende wiskundige vergelijking die ik al zover ik kon vereenvoudigd heb:


Volgens WisFaq (mits ik het goed heb ingevuld) en mijn eigen inzicht is deze vergelijking op te lossen: oplossing (url ingkort met goo.gl anders werkte de url tags niet).
Alleen ik zit vast en ik heb geen idee hoe ik verder moet, thuis heb ik twee wiskunde boeken op hbo niveau erop nageslagen maar ik kwam er niet uit. Hopelijk kan iemand mij verder helpen.

Met vriendelijke groeten,
Johnny

[arie]

Je kan je vergelijking numeriek oplossen, bijvoorbeeld via WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/:
copy-paste dit:

975/(1400*x+12.566*x^2)=0.185*(1+(200/x)^0.5)^1.5

naar het invoervak daarvan,
druk op de Enter toets en je krijgt:




Noot: als de constanten (= je constructieparameters ??) niet al te veel veranderen, dan zal x ook niet veel veranderen en kan je in je formule:
- links: in de noemer de term met x^2 erin verwaarlozen
- rechts: de +1 verwaarlozen (de wortel is ~= 2800)
Je houdt dan over:



en nu kan je x met de hand bepalen:



Mogelijk is zo'n benadering al voldoende voor je probleem.

[Johnny]

Bedankt voor je reactie!

WolframAlpha heeft een mooie stap voor stap vergelijking oplossing.
Ziehier met een ander voorbeeld. Het voorbeeld in de startpost bevatte namelijk een foutje.
http://goo.gl/diUISk

De vereenvoudiging stap voor stap: http://s15.postimg.org/s82bccg0b/Oplossing.png

Maar hoe kom ik nu, zoals WolframAlpha aangeeft, bij x = 515.094? Want onderaan op WolframAlpha staat die uitkomst gegeven maar wanneer ik dan klik op "Step-by-step solution" dan krijg ik de melding "(step-by-step solution unavailable)".

[arie]

Je Oplossing.png herschrijft de formule in een wat eenvoudiger vorm, maar dit is nog geen oplossing.
Een oplossing heeft de vorm "x = .....".

Wolfram geeft wel je oplossing (x ~= 515.094), maar geen stap-voor-stap uitwerking.
Ik verwacht dat ze die oplossing numeriek bepaald hebben, dat wil zeggen: met een rekenvoorschrift (= algoritme) de oplossing benaderd hebben.

Er zijn vele methoden hiervoor.
In sommige rekenmachines en software zit al een solve()-functie ingebouwd.
Je herschrijft daarvoor eerst je formule als een functie van x, in jouw geval



en de solve() functie geeft vervolgens de nulpunt(en) van f(x), dus de x waarvoor f(x) = 0.

Je kan dergelijke solve()-methodes ook in je eigen software gebruiken en/of zelf schrijven (mocht je zoiets willen).

[Johnny]

Heel erg bedankt Arie! Mijn gr bevat ook de solve functie dus dit is wat ik zocht.

Maar het is dus niet mogelijk om x op een andere manier uit te rekenen met de hand? Het kan dus alleen door steeds waardes voor x in te vullen en zo proberen zo dicht mogelijk bij 0 uit te komen?

[arie]

We hebben hier de combinatie van een breuk met een kwadratische uitdrukking in de noemer, een constante term en een term met x^(-0.75).
Ik zie vooralsnog geen substitutie waardoor we f(x) kunnen vereenvoudigen en f(x)=0 met de hand kunnen oplossen (maar dat is natuurlijk geen garantie dat er niet een elegante oplossingsmethode zou bestaan).

Als je de solve() niet wilt gebruiken, kan je hier bv de bisectiemethode (=halveringsmethode) gebruiken, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method.
Daarmee valt het "herhaald proberen" uiteindelijk wel mee:

Toegepast op jouw functie:
- vanwege x als noemer onder een wortel moet x > 0, stel x = 0.00001, dan is f(x) > 0
- neem als hoge schatting x = 1000 (maar dat mag ook veel hoger), dan is f(x) < 0
Onder aanname van de voorwaarden voor de bisectiemethode (f continu op interval [0.00001, 1000] etc), vinden we na i iteraties (= herhalingen):

Code: Selecteer alles

i    a               b
1: [ 500.000005000 , 1000.00000000 ]
2: [ 500.000005000 , 750.000002500 ]
3: [ 500.000005000 , 625.000003750 ]
4: [ 500.000005000 , 562.500004375 ]
5: [ 500.000005000 , 531.250004687 ]
6: [ 500.000005000 , 515.625004844 ]
7: [ 507.812504922 , 515.625004844 ]
8: [ 511.718754883 , 515.625004844 ]
9: [ 513.671879863 , 515.625004844 ]
10: [ 514.648442354 , 515.625004844 ]
11: [ 514.648442354 , 515.136723599 ]
12: [ 514.892582976 , 515.136723599 ]
13: [ 515.014653287 , 515.136723599 ]
14: [ 515.075688443 , 515.136723599 ]
15: [ 515.075688443 , 515.106206021 ]
16: [ 515.090947232 , 515.106206021 ]
17: [ 515.090947232 , 515.098576626 ]
18: [ 515.090947232 , 515.094761929 ]
19: [ 515.092854581 , 515.094761929 ]
20: [ 515.092854581 , 515.093808255 ]
21: [ 515.093331418 , 515.093808255 ]
22: [ 515.093569836 , 515.093808255 ]
23: [ 515.093569836 , 515.093689046 ]
24: [ 515.093569836 , 515.093629441 ]
25: [ 515.093599639 , 515.093629441 ]
26: [ 515.093614540 , 515.093629441 ]
27: [ 515.093614540 , 515.093621990 ]
28: [ 515.093618265 , 515.093621990 ]
29: [ 515.093620128 , 515.093621990 ]
30: [ 515.093620128 , 515.093621059 ]

Dus nadat we 30 functiewaarden bepaald hebben weten we al dat
515.093620 128 < x < 515.093621 059
Elke 10 halveringen leveren een verkleining van dit interval met een factor (1/2)^10 ~= 1/1000, wat neerkomt op een verhoging van de nauwkeurigheid met 3 decimalen.

[Johnny]

Arie heel erg bedankt voor je uitgebreide en duidelijke reactie.