Lijnintegraal in een conservatief veld

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
Mark Steffens
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 16
Lid geworden op: 23 sep 2014, 11:22
Locatie: Kongsberg, Noorwegen

Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door Mark Steffens » 23 okt 2014, 19:53

Ik studeer momenteel in Noorwegen en heb de titel van het hoofdstuk en wat wiskundige uitdrukkingen min of meer letterlijk vertaald naar het Nederlands. Ik hoop dat het te begrijpen is.

De opgave is als volgt:

Bereken de lijnintegraal als en de curve is een cirkel met het middelpunt in (1,-1) en radius 5.

Ik denk dat ik struikel over de parametrisering van de cirkel. Ik denk namelijk dat deze moet zijn maar vermoed dat dit niet juist is. Ik zal laten zien waarom:



De functie is dus conservatief en we kunnen doorgaan met de berekening.







Nu kan ik de lijnintegraal berekenen door:



waarbij ik voor b de waarde 2 pi gebruik en voor a de waarde 0. Dit resulteert echter niet in het juiste antwoord. Even doordenken bracht mij op het idee om de waardes b=6 en a=-4 te gebruiken (radius cirkel is 5, maximale x-waarde wordt dan 1+5=6 en minimale x-waarde wordt dan 1-5=-4). Ook dit resulteert niet in het juiste antwoord.

Kortom, er zit waarschijnlijk iets fout in de parametrisering. Maar wat?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door SafeX » 23 okt 2014, 21:07

Ik zou: x(t)=1+5cos(t) en y(t)=-1+5sin(t) kiezen

Mark Steffens
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 16
Lid geworden op: 23 sep 2014, 11:22
Locatie: Kongsberg, Noorwegen

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door Mark Steffens » 24 okt 2014, 12:33

Ehm, juist. Dan klopt het inderdaad met het antwoord in het opgavenboek. Bedankt!

Is er een (eenvoudige) manier om cirkels (en andere geometrische vormen zoals ellips en dergelijke) waarvan het middelpunt niet in origo ligt te parametriseren? Of heb ik mij vergist in de manier waarop dit gebeurt en een fout gemaakt welke vaker voorkomt bij studenten? Een zelfde cirkel zou volgens mij de volgende vergelijking kunnen hebben:

(x^2-1)+(y^2+1)=25

Maar hoe verwerk ik dit dan op een juiste manier naar de vorm r(t)=...?

Goniometrische functies hebben voor mij nog steeds geheimen af en toe. Dit is er duidelijk één van.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door SafeX » 24 okt 2014, 12:46

Mark Steffens schreef: (x^2-1)+(y^2+1)=25

Maar hoe verwerk ik dit dan op een juiste manier naar de vorm r(t)=...?

Goniometrische functies hebben voor mij nog steeds geheimen af en toe. Dit is er duidelijk één van.
Je bedoelt (hoop ik): (x-1)^2+(y+1)^2=25 ... , zo niet: geef dat aan!

Je gaat uit van de bekende formule cos^2(t)+sin^2(t)=1 ... , dus: 25cos^2(t)+25sin^2(t)=25,

5cos(t)=x-1 en 5sin(t)=y+1

Kan je dit verder uitwerken en dit met letters generaliseren?

Mark Steffens
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 16
Lid geworden op: 23 sep 2014, 11:22
Locatie: Kongsberg, Noorwegen

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door Mark Steffens » 25 okt 2014, 11:16

Ach, maar natuurlijk! Mijn vergissing zit 'm in de manier van schrijven met de variabelen x en y. Het is natuurlijk niet (x^2-1) maar (x-1)^2 en niet (y^2+1) maar (y+1)^2. Fout gedacht van mij. Stom natuurlijk, dit is basisstof.

Ik bedoel inderdaad (x-1)^2+(y+1)^2=25. De variabelen kunnen dan geschreven worden als x-1=cos(t) en y+1=sin(t). Als we s nemen als radius, kunnen we de volgende (algemene) vergelijking opstellen:

(s*cos(t))^2+(s*sin(t))^2 = s^2(cos^2(t)+sin^2(t)) = s^2

Deze kennen we natuurlijk als de algemene formule voor een cirkel. Maar omdat we nu een verplaatsing hebben in zowel de x als de y richting (1 resp. -1) moeten deze waardes meegenomen worden in de parametrisering. De radius is zoals bekend 5, dus s=5.

Kortom, de parametrisering kan dan geschreven worden als:

r(t)=(1+5*(cos(t), -1+5*(sin(t))

Ik zag trouwens dat ik in mijn eerste post de sin en cos in de parametrisering had omgewisseld.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door SafeX » 25 okt 2014, 12:28

Ok!
Mark Steffens schreef:Ik zag trouwens dat ik in mijn eerste post de sin en cos in de parametrisering had omgewisseld.
Als je t laat lopen van 0 tot 2*pi betekent dat je begint in (1,4) ipv (6,-1)

Mark Steffens
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 16
Lid geworden op: 23 sep 2014, 11:22
Locatie: Kongsberg, Noorwegen

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door Mark Steffens » 28 okt 2014, 15:32

Oei, nou snap ik geloof ik niet helemaal wat je bedoelt, SafeX. Zijn dat coordinaten welke je opgeeft?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door SafeX » 28 okt 2014, 16:08

Mark Steffens schreef:Zijn dat coordinaten welke je opgeeft?
Natuurlijk, dat ben je toch gewend voor ptn in een coördinatenstelsel ...

Mark Steffens
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 16
Lid geworden op: 23 sep 2014, 11:22
Locatie: Kongsberg, Noorwegen

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door Mark Steffens » 02 nov 2014, 15:13

OK. Ik dacht even dat het een interval was. :D

Hier (in Noorwegen) gebruikt men niet alleen [... , ...] om een interval aan te geven, maar ook (... , ...).
Laatst gewijzigd door Mark Steffens op 02 nov 2014, 15:32, 1 keer totaal gewijzigd.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Lijnintegraal in een conservatief veld

Bericht door SafeX » 02 nov 2014, 15:27

Ik gaf voor t een interval en elke t bepaalt een punt in het xy-coördinatenstelsel ...

Plaats reactie