Bond valuation

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bond valuation

Bericht door arie » 02 nov 2014, 15:09

Klopt, een derdegraadsvergelijking in x.
Kan je die met je GR oplossen?

Hint:
918.30x^3 = 20x^2 + 20x + 1020
is hetzelfde als
918.30x^3 - 20x^2 - 20x - 1020 = 0

BusinessMath
Vast lid
Vast lid
Berichten: 57
Lid geworden op: 23 feb 2014, 15:14

Re: Bond valuation

Bericht door BusinessMath » 02 nov 2014, 15:34

arie schreef:Klopt, een derdegraadsvergelijking in x.
Kan je die met je GR oplossen?

Hint:
918.30x^3 = 20x^2 + 20x + 1020
is hetzelfde als
918.30x^3 - 20x^2 - 20x - 1020 = 0

Ik vul het in bij grafiek tekenen en dan zero berekenen. hier komt uit : x=1.05
dan is het antwoord: 1.05 - 1= 0.05 is 5% en dat klopt!

Maar als je deze vraag wilt bereken, maar dan van n=1 tot 12. Kun je dat ook eenvoudiger met de rekenmachine doen, of moet je dat helemaal uit schrijven met de hand.
Durf te vragen!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bond valuation

Bericht door arie » 02 nov 2014, 18:48

Ga uit van de formule



Waarbij:
P = market price (hierboven 918.30)
N = number of years (hierboven 3)
n = sommatie variabele, loopt hier van 1 t/m N
C = coupon payment (hierboven 20)
i = market interest rate, die zoeken we
M = value at maturity (hierboven 1000)

Als we weer voor het gemak 1 + i = x stellen, krijgen we:



Haal de constante C buiten de sommatie:



Vermenigvuldig links en recht met x^N (dat deden we hierboven ook):



x^N is constant voor alle jaren n, dus x^N mogen we binnen de sommatie halen:



herschrijf de breuk:



Voor n = 1 t/m N loopt binnen de sommatie de exponent van x van N-1 t/m N-N=0
We kunnen deze sommatie dus ook schrijven voor variabele k lopend van 0 t/m N-1:



Nu komen we op de formules van Meetkundige Reeksen, waar SafeX het hierboven al over had.
Dat heb je nog niet gehad, maar je kan dit ook opzoeken, zie bv http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series#Formula
Hiermee kunnen we de sommatie vereenvoudigen tot:



Vermenigvuldig nu links en rechts met (1 - x):



herschrijf:



ofwel:



ofwel:



En nu hebben we een (N+1)-de graads vergelijking in x met slechts 4 coefficienten.
Merk op dat dit voor ALLE periodes N geldt, dus bijvoorbeeld ook voor N = 25, waarvoor we nu 4 coefficienten moeten invoeren i.p.v. 26.

Er zit nog 1 adder onder het gras: deze vergelijking heeft altijd een oplossing voor x=1 (ga na).
De formule voor de Meetkundige Reeks hierboven geldt niet voor x=1.
Die oplossing moeten we dus verwaarlozen.
In praktijk zal overigens altijd x > 1 zijn.

Kan je hiermee ook het goede nulpunt vinden voor jouw probleem:
P = 918.30
N = 3
C = 20
M = 1000

En voor
P = 2061.80
N = 30
C = 100
M = 5000

BusinessMath
Vast lid
Vast lid
Berichten: 57
Lid geworden op: 23 feb 2014, 15:14

Re: Bond valuation

Bericht door BusinessMath » 02 nov 2014, 19:52

Als ik het met die formule bereken komt er ook 5% uit.

En voor
P = 2061.80
N = 30
C = 100
M = 5000
Hierbij kom ik op x=1,08 en dan i is 8%
Durf te vragen!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bond valuation

Bericht door arie » 02 nov 2014, 20:03

Voor de tweede kom ik iets anders uit.
We moeten een nulpunt vinden van



f(1.08) = 353.51, dat klopt niet...


PS: ik verwacht overigens niet dat ze dergelijke berekeningen zullen vragen.

BusinessMath
Vast lid
Vast lid
Berichten: 57
Lid geworden op: 23 feb 2014, 15:14

Re: Bond valuation

Bericht door BusinessMath » 02 nov 2014, 20:29

arie schreef:Voor de tweede kom ik iets anders uit.
We moeten een nulpunt vinden van



f(1.08) = 353.51, dat klopt niet...


PS: ik verwacht overigens niet dat ze dergelijke berekeningen zullen vragen.

ik heb het nog eens berekend en krijg ook een ander antwoord. heb nu 1.0649 eruit.
Durf te vragen!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bond valuation

Bericht door arie » 02 nov 2014, 20:40

Ik kwam hier ook ongeveer op uit: x = 1.065, i = 0.065 ofwel 6.5%

Tenslotte nog even terug naar het oorspronkelijke probleem.
We hadden daar:
918.30x^3 = 20x^2 + 20x + 1020
De coefficienten van x en x^2 zijn relatief klein (allebei 20, klein t.o.v. 1020),
we weten: x is iets groter dan 1,
x^2 is nog steeds slechts iets groter dan 1,
het rechter lid is daarom slechts iets groter dan
20 + 20 + 1020 = 1060
We kunnen x daarom benaderen via:
918.30x^3 ~= 1060
x^3 ~= 1060/918.30
x ~= (1060/918.30)^(1/3) ~= 1.048996
Waarbij de werkelijke waarde van x iets hoger dan dit getal moet liggen.

Dit is een prima benadering gezien vanuit de technische wetenschappen.
Helaas heb je voor de financiele wetenschappen een nauwkeuriger berekening nodig...

Nogmaals: volgens mij zijn we hier wel erg diep op je probleem ingegaan, en zullen ze in die cursus waarschijnlijk eenvoudigere vraagstukken hebben.

BusinessMath
Vast lid
Vast lid
Berichten: 57
Lid geworden op: 23 feb 2014, 15:14

Re: Bond valuation

Bericht door BusinessMath » 03 nov 2014, 10:29

arie schreef:
Nogmaals: volgens mij zijn we hier wel erg diep op je probleem ingegaan, en zullen ze in die cursus waarschijnlijk eenvoudigere vraagstukken hebben.
In het opgaven boek staan juist van zulke grote sommen, er staat alleen hoe je het in een GR plus zet, maar die heb ik niet.
Durf te vragen!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Bond valuation

Bericht door arie » 03 nov 2014, 14:41

Je wil x oplossen uit deze vergelijking (waarbij alle andere variabelen een gegeven waarde hebben):



Het hangt af van je rekenmachine of en hoe die dat kan.
Indien je de mogelijkheid hebt om een sommatie-formule in te voeren, dan kan je bovenstaande vergelijking gebruiken, anders moet je die herleiden naar:



of:



zoals we hierboven gedaan hebben.

Indien je rekenmachine een grafiek kan tonen, kan je het linker lid beschouwen als functie f op x, waarvan je het nulpunt wil vinden. Volgens mij kunnen vrijwel alle grafische rekenmachines dat.

Het kan ook zijn dat je rekenmachine een SOLVE-functie heeft, die nulpunten van een gegeven functie kan bepalen.
Er bestaan ook niet-grafische rekenmachines die dat kunnen.

Kan je rekenmachine dat ook niet, maar is hij wel programmeerbaar, dan kan je zelf de gewenste functie programmeren en bijvoorbeeld via bisectie (zie http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method) je nulpunt vinden.

Met een eenvoudiger rekenmachine wordt het een hele klus.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Bond valuation

Bericht door David » 03 nov 2014, 17:31

Wat voor rekenmachine heb je? Tenminste op een TI-84 kan een som invoeren en plotten, mocht je de som niet kunnen herleiden naar minder termen. Zie bijvoorbeeld deze pagina: http://mathbits.com/MathBits/TISection/ ... mation.htm

Voor je eerste voorbeeld zou je dus in kunnen voeren: sum(seq(20/x^i,i,1,3,1)) - 1000/x^i - 918.3.
(Bij veel termen doet de rekenmachine er wel langer over dan bij minder termen.)

Verder zou je, naast de bissectiemethode bijvoorbeeld, wat arie je voorstelde, bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem kunnen gebruiken, om te kijken of er rationale nulpunten zijn. Dan kan je bijvoorbeeld zien dat x = 1.05 een benadering is van de oplossing van de eerste opgave, net als invullen in de oorspronkelijke vergelijking.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie