relatie ook symmetrisch?

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
amx
Vast lid
Vast lid
Berichten: 38
Lid geworden op: 19 okt 2014, 08:30

relatie ook symmetrisch?

Bericht door amx » 30 nov 2014, 15:17

De relatie is gedefinieerd op Z

|x-y|<1

Is deze relatie reflexief, symmetrisch, antisymmetrisch, transitief?

Ik heb in het verleden wat moeite gehad om de |..| operator te onderscheiden, het kan namelijk kardinaliteit of absolute waarde betekenen. Als ik het nu goed begrijp, is kardinaliteit alleen van toepassing op verzamelingen, weergegeven als {...}. De absolute waarde is altijd positief of 0

Dan nog probeer ik te snappen welke relatie van toepassing is.
Ik zie dat de relatie reflexief is, de absolute waarde van x-x is altijd 0, en dus <1.
Ik zie niet dat deze relatie symmetrisch is (boek zegt van wel), want voor x=4 en y=3 kom ik niet op een symmetrische relatie uit.
Ik zie wel dat de relatie antisymmetrisch is, |x-y| en |y-x| is alleen <1 als x=y
Ik zie wel dat de relatie transitief is, want |x-y|<1 en |y-z|<1 -> |x-z|<1

Is deze relatie nu toch symmetrisch en lees ik de |...| operator nu goed?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door SafeX » 30 nov 2014, 15:36

amx schreef: Ik zie niet dat deze relatie symmetrisch is (boek zegt van wel), want voor x=4 en y=3 kom ik niet op een symmetrische relatie uit.
Laat eens zien ...

amx
Vast lid
Vast lid
Berichten: 38
Lid geworden op: 19 okt 2014, 08:30

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door amx » 30 nov 2014, 16:19

|x-y|<1
|3-4|=1
|4-3|=1

OK, ja klopt , dit voorbeeld klopt wel.
Dus alleen voor de waarde |x=y| is de uitkomst waar (namelijk is 0 en dus <1)
Dus is de formule symmetrisch en antisymmetrisch

Als ik |4-9|<1
vergelijk met |9-4|<1
zijn beide niet waar,
als ik het in een diagram weergeef, zijn er geen pijlen tussen knopen x en y, wel een loop op x en y
dat is gelijk aan symmetrisch, reflexief, antysymmetrisch en transitief.

Raar dat ik het nu wel "zie", kwestie van oefenen hoop ik. Bedankt voor de hulp!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door SafeX » 30 nov 2014, 18:19

amx schreef:|x-y|<1
|3-4|=1
|4-3|=1
Je hebt nu een = teken, in tegenspraak met de eis ...

amx
Vast lid
Vast lid
Berichten: 38
Lid geworden op: 19 okt 2014, 08:30

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door amx » 30 nov 2014, 19:20

Klopt, |3-4|=1 en is dus niet <1

amx
Vast lid
Vast lid
Berichten: 38
Lid geworden op: 19 okt 2014, 08:30

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door amx » 30 nov 2014, 21:30

De definitie van symmetrisch is als xRy dan yRx.
In dit geval |x-y|<1

Maar de enige oplossing waar |x-y|inderdaad <1 (=0) is,
is als |x|=|y| (Dit is de definitie van antisymmetrisch).

Voor alle andere xRy heeft yRx niet dezelfde uitkomst, dus niet symmetrisch?
Normaal is de > of < relatie nooit symmetrisch, maar doordat nu beide variabelen aan een kant van de operator staan, vind ik het toch lastig.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door arie » 04 dec 2014, 14:29

amx schreef:De definitie van symmetrisch is als xRy dan yRx.
In dit geval |x-y|<1

Maar de enige oplossing waar |x-y|inderdaad <1 (=0) is,
is als |x|=|y| (Dit is de definitie van antisymmetrisch).
Bijna OK.
Omdat x en y gehele getallen zijn, is x-y een geheel getal, en als |x-y| < 1 is
moet |x-y| = 0 zijn waardoor
x-y = 0 is, waardoor
x = y
(dus ZONDER absoluut-strepen)

amx schreef: Voor alle andere xRy heeft yRx niet dezelfde uitkomst, dus niet symmetrisch?
Normaal is de > of < relatie nooit symmetrisch, maar doordat nu beide variabelen aan een kant van de operator staan, vind ik het toch lastig.
Maak onderscheid tussen
[1] de definitie van de relatie, en
[2] de eigenschappen die voor die relatie gelden.

[1] de relatie:
Hier een relatie R op Z, gegeven door:



ofwel wat in Z hetzelfde is, zoals we zojuist zagen:



Dus (x, y) behoort tot R als x = y. Dat zijn alle getalparen (x, x) voor x in Z.
Naast de formule-vorm kunnen we relatie R ook beschrijven als:

R = { ..., (-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), ... }

We hebben nu een goed idee van wat de relatie R is.
Dan kunnen we nu gaan kijken naar eigenschappen van R:


[2] Eigenschappen voor relatie R:

De eigenschappen van een relatie bekijk je alleen voor de elementen (= getalparen) in die relatie.
In dit geval kijken we dus alleen naar de verzameling getalparen
{ ..., (-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), ... }

Naar alle andere paren, bv (4, 3), dus x=4 en y=3, hoef je NIET te kijken: die behoren niet tot R.

Dan terug naar je eerste post:

- Ik zie dat de relatie reflexief is, de absolute waarde van x-x is altijd 0, en dus <1.
Klopt, voor alle x in Z is (x, x) een element van R, ofwel voor alle x in Z geldt xRx.

- Ik zie niet dat deze relatie symmetrisch is (boek zegt van wel), want voor x=4 en y=3 kom ik niet op een symmetrische relatie uit.
Symmetrisch: hiervoor moeten we aantonen:
voor alle x, y  in Z geldt: ALS x R y DAN y R x.
We moeten hier dus alleen kijken naar (x,y) in R, en NIET naar (x, y) die NIET in R zit.
Voor elke x in onze relatie R vinden we slechts 1 y, namelijk y = x.
Dus voor alle xRy geldt hier y=x ofwel alle elementen van R hebben de vorm xRx.
Maar als voor alle x, y in Z in deze relatie altijd y=x, dan zit ook (y, x) in R, ofwel yRx.
Dus: als xRy, dan ook yRx (want in dat geval is y=x).

- Ik zie wel dat de relatie antisymmetrisch is, |x-y| en |y-x| is alleen <1 als x=y
Klopt.
Antisymmetrisch: hiervoor moeten we aantonen:
ALS ( xRy EN yRx ) DAN x = y
En in onze relatie is xRy alleen als y=x, dus ook als yRx dan x=y,
dus ook als (xRy EN yRx) dan x = y

- Ik zie wel dat de relatie transitief is, want |x-y|<1 en |y-z|<1 -> |x-z|<1
Waarschijnlijk zal je dat net iets meer moeten toelichten, bijvoorbeeld:
voor alle x, y en z in Z geldt:
als xRy dan is x=y
als yRz dan is y=z
dus als xRy EN yRz, dan is x=y=z, en omdat x=z geldt dan ook xRz.

amx
Vast lid
Vast lid
Berichten: 38
Lid geworden op: 19 okt 2014, 08:30

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door amx » 04 dec 2014, 15:03

Dank voor het antwoord.

(volgende wordt niet door het boek gevraagd)
Dus de relatie is ook een poset (reflexief, antisymmetrisch en transitief),
een equivalentierelatie (reflexief, symmetrisch en tranisitief),
en geen lineaire ordening |2-1|=1 en is dus niet <1?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: relatie ook symmetrisch?

Bericht door arie » 04 dec 2014, 18:35

Klopt alle 3.

relatie R is niet totaal/compleet, daarom is R geen lineaire ordening.
Dit kan je nog iets netter omschrijven:

R is geen lineaire ordening omdat R niet compleet (= totaal) is.
Tegenvoorbeeld:
Kies x=2 en y=1
1 en 2 zitten beide in Z,
maar noch (2, 1) noch (1, 2) zitten in relatie R.

Plaats reactie