Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek!

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
Pipo87
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 08 jan 2015, 22:38

Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek!

Bericht door Pipo87 » 08 jan 2015, 22:59

Ok hier is de opgave die ik moet zien op te lossen (zoek x):

4^{x} + 4^{2-x} = 17

En zo ben ik begonnen:
eerst alles op grondtal e zetten:

e^{xln4} + e^{(2-x)ln4} = e^{ln17}

dan grondtal e weggelaten:
xln4 + (2-x)ln4 = ln17

en dan de haakjes uitgewerkt:
xln4 + 2ln4 -xln4 = ln17

en toen zag ik het probleem, namelijk ik heb xln4 - xln4 wat dus 0 wordt.

en dan blijft 2ln4 = ln17 over, wat natuurlijk niet klopt!!


Wat doe ik verkeerd en hoe zou ik het dan wel kunnen oplossen?
Ik weet al dat er 2 oplossingen zijn, namelijk 0 en 2, dus ik vermoed dat ik ergens een 2de graadsvergelijking zou moeten uitkomen, maar ik heb er geen idee van hoe ik die zou moeten vinden :(
Ik word hier echt gek van, ben er al een 2 uur op aan't denken >.<

Enige hulp en uitleg is erg welkom!
Bedankt!

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek

Bericht door David » 09 jan 2015, 00:24

Pipo87 schreef:dan grondtal e weggelaten:
Dit kan je niet zo doen.
Bijvoorbeeld,
2^3 + 2^3 = 2^4. Dat betekent niet 3 + 3 = 4.

Er zijn (minstens) twee methoden om dit op te lossen.
1. Herschrijf 4^(2-x) = 4^2 * 4^(-x) = 16 * 4^(-x) = 16 / 4^x.
Subtitueer dan u = 4^x. Los de vergelijking op voor u, dan voor x. Kan je dit?

2. Deze methode helpt soms, geeft niet altijd alle oplossingen maar kan dan wel snel zijn; Inspectie. Kijk voor een aantal gehele getallen. Als een oplossing geheel is, is omdat 17 en 4 geheel zijn, x en 2-x ook geheel en wel niet-negatief; 4^-1 = 1/4, niet geheel en -1 is negatief. 4^x is ook niet geheel voor x < -1. 4^x is wel geheel als x = 0 of x = 1 etc. Voor welke waarden van x zijn x en 2-x niet-negatief en geheel. Welke getallen zou je dan kunnen proberen voor x. Dan moet je nog bewijzen dat de gevonden waarden voor x de enige zijn.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Pipo87
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 08 jan 2015, 22:38

Re: Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek

Bericht door Pipo87 » 09 jan 2015, 00:48

aaaaah zo op die manier

ik wist niet dat je het grondtal niet mocht weglaten :oops: domme fout
dat mag dus enkel als het factoren zijn neem ik aan?

via de substitutie met u kom ik er wel uit, dan krijg ik idd ook die 2de graadsvergelijking

u^2 - 17u +16 = 0

u = 16 of u = 1 dus 4^(x) = 16 of 4^(x) = 1

dan moet x 2 of 0 zijn

thanks!

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek

Bericht door David » 09 jan 2015, 00:53

Pipo87 schreef: domme fout
ach, je wist het niet.
je schreef:dat mag dus enkel als het factoren zijn neem ik aan?
Hm, ja. a^c = a^d geeft c = d.
Dit kan je ook vinden met vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld als a^b * a^c = a^d geldt omdat a^b * a^c = a^(b + c) dat a^(b + c) = a^d en zo, vergelijkbaar met eerder, dat b + c = d.

Je uitwerking en oplossingen kloppen. Goed bezig!
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Pipo87
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 08 jan 2015, 22:38

Re: Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek

Bericht door Pipo87 » 09 jan 2015, 10:56

Dank je!

Nu nog puur uit nieuwsgierigheid, de vorige oefening was in principe vrij makkelijk doordat het grondtal al gelijk was.

Maar hoe kan je dan bijvoorbeeld 3^x + 2^x = 13 berekenen? Ik heb de opgave zelf verzonnen, antwoord is gewoon x = 2 natuurlijk. Maar hoe zou je dit algebraïsch kunnen oplossen?

Ik heb geprobeerd om opnieuw beide termen op hetzelfde grondtal te zetten, namelijk zo:

e^(xln3) + e^(xln2) = 13 en dan via substitutie u = e^x kom ik op de volgende vergelijking:

u^(ln3) + u^(ln2) -13 = 0

En dan zit ik vast :p
Is dit ook op een makkelijke manier op te lossen? Of gaat dit al wat verder?
Het valt me namelijk op dat in de cursus die ik heb er zo geen enkele oefening in staat

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek

Bericht door David » 09 jan 2015, 13:34

Soms als het grondtal niet gelijk is, kan je, zoals je hebt gezien, de vergelijking herschrijven naar een tweedegraads of misschien derdegraads vergelijking. Het kan ook voorkomen dat er geen algebraïsche oplossing te vinden is.
Soms is dan inspectie dan een uitkomst. Voor jouw vergelijking, 3^x + 2^x = 13 kijk je dan bijvoorbeeld voor x = 0, x = 1 wat geen oplossing geeft maar yey!, x = 2 geeft wel een oplossing. Omdat 3^x en 2^x allebei strikt toenemend zijn is dat dan ook de enige oplossing.

Mocht je krijgen 3^x + 2^x = 12 is geen van beide genoemde methoden een mogelijkheid. Dan zijn er benaderingsmethoden. Bijvoorbeeld:
Je kan dan wel de oplossing benaderen. x = 2 is te groot en x = 1 is te klein. Hoe zit het met x = 1.5?
De oplossing, ongeveer 10.853 is te klein. Dus ligt x tussen 1.5 en 2. Hoe zit dat met 1.75? Enzovoort.
Dit is de bisectie-methode: http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method
Verder is er nog bijvoorbeeld de Newton-Raphson methode. http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method, die gebruik maakt van de afgeleide van x.
Afhankelijk van de functie zijn er soms specifieke methoden ontwikkeld en hier is veel meer over te zeggen. Is dit ongeveer een antwoord op je vraag?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Pipo87
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 08 jan 2015, 22:38

Re: Vergelijking met onbekende exponenten - Help ik word gek

Bericht door Pipo87 » 09 jan 2015, 13:44

Ja hoor, dank je!

Zoals ik een beetje had verwacht, gaat dat uiteindelijk nog wel nét iets verder dan gewone algebra :)

Plaats reactie