Optimal state feedback design (LQR)

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 24 feb 2015, 13:27

Optimal state feedback design (LQR)

Bericht door mark1990 » 01 mar 2015, 17:43

Goedenmiddag, hopelijk kan ik hier nogmaals geholpen worden met een probleem;

IK heb een systeem omschreven als:



met



Ontwerp een optimale state feedback welke de volgende kosten functie minimaliseert:



De optimale state feedback wordt dan gegeven door:







Dit moet opgelost worden met behulp van de Ricatti formule, die luidt:



Waar Q en R gerelateerd zijn aan de kostenfunctie:







Nou is mijn vraag. Hoe bereken ik daar Q en R goed uit?? Deze ben ik nodig om P te berekenen, maar ik snap niet hoe dit gedaan wordt..
Als ik de kostenfunctie J bekijk zal ik denken dat R=[9] waarmee R^-1=[1/9].
Hoe kom ik bij Q? Q moet denk ik een 2x2 matrix zijn?




Het antwoord is bekend:







Wie kan en wil mij helpen??

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Optimal state feedback design (LQR)

Bericht door arie » 01 mar 2015, 21:00

Ik zou in eerste instantie kijken naar een diagonaalmatrix Q, zodanig dat:



Welke waarden vind je dan voor q11 en q22 ?

Hoe kom je hier mee uit bij de berekening van het eindantwoord?

mark1990
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 8
Lid geworden op: 24 feb 2015, 13:27

Re: Optimal state feedback design (LQR)

Bericht door mark1990 » 01 mar 2015, 21:50

arie schreef:Ik zou in eerste instantie kijken naar een diagonaalmatrix Q, zodanig dat:



Welke waarden vind je dan voor q11 en q22 ?

Hoe kom je hier mee uit bij de berekening van het eindantwoord?
Hè arie, bedankt voor je antwoord!

Ik wist niet hoe je die Q kon berekenen, dit helpt wel ja! Is dit altijd de manier om Q te berkenen? In dit geval krijg ik voor Q:




Voordat ik verder ga, nog een voorbeeld voor Q (om even te kijken of ik het goed doe..):



Dan is Q:





Waaruit volgt:
en

Klopt dat??


Maar hoe dan verder?? Ik loop vast:



Maar dat middelste gedeelte loop ik vast, hoe bepaal ik daar de P uit? Je krijgt dan toch een [2x2] + [2x2] - [1x2] + [2x2] matrix, en dat lukt toch niet??

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Optimal state feedback design (LQR)

Bericht door arie » 01 mar 2015, 23:46

Definieer voor het schrijfgemak



Dan kom ik uit op:













Stel dit geheel samen volgens de Ricatti formule, en je krijgt 4 vergelijkingen met 4 onbekenden,
los daaruit a, b, c en d (dus matrix P) op.


PS: je werkwijze om Q te bepalen klopt, merk op dat je nog wel een vrijheid hebt in Q (zolang q12 + q21 maar gelijk is aan 2).
Wat echter belangrijker is: x1 en x2 komen voor in eerste macht, dat kan problemen geven door negatieve waarden in je kostenintegraal.

Plaats reactie