Wiskundeforum

Als f(x) een continue functie is op het interval [0,1] en f(0) = f(1), laat dan zien f(a) = f(a+1/2) voor een a in het interval [0,1/2]. Hierbij is de volgende hint gegeven, g(x) = f(x+1/2) - f(x).

Ik kan volgens de tussenwaardestelling wel beredeneren en zien dat er een waarde f(x) is tussen [0,1/2] is en ook eenzelfde waarde tussen [1/2,1]. Alleen kan ik niet aantonen dat dat geldt voor de waarde a en a+1/2. Iemand een idee hoe dit aan te pakken?

Heb het antwoord al gevonden

Laat eens zien ...

g(x)=f(x+1/2)-f(x). Dan is g(1/2)=f(1) - f(1/2) = f(0)-f(1/2) = -g(0). Omdat g(x) continu is en tegengestelf teken heeft op x=0 en x =1/2 moet er volgens de tussenwaardestelling een a zijn waarvoor geldt g(a)=0 ofwel f(x+1/2) = f(a).

Ik heb dit antwoord uit de solutions manual verkregen want dit had ik nooit zelf verzonnen.