Sets en subsets

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Sets en subsets

Bericht door Roy8888 » 13 jul 2015, 13:41

Gegeven is de volgende vraag.

Let A={1,2,3,4,5}, B={5,6,7}. The statement
A∪(B∖C)⊆(A∪B)∖(B∩C)
is not true for some finite subsets C of N. Give an example of such a subset C with the fewest possible number of elements.

Aan de linkerkant vragen ze de elementen die zowel in A zitten en/of de elementen die wel in B maar niet in C zitten? Ik weet toch niet wat C is? Hoe kan ik dan de elementen bepalen die niet in deze verzameling zitten?

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Sets en subsets

Bericht door David » 13 jul 2015, 14:44

Roy8888 schreef:Aan de linkerkant vragen ze de elementen die zowel in A zitten en/of de elementen die wel in B maar niet in C zitten?
Uitschrijven in woorden geeft soms dubbelzinnigheid. Ik denk dat je bedoelt:
Aan de linkerkant vragen ze de (elementen die zowel in A zitten) en/of de (elementen die wel in B maar niet in C zitten).
Dat is wat ze links vragen.
Je schreef:Ik weet toch niet wat C is?
Klopt, die moet je zoeken. Het is een subset van N. Dus C is een subset van {1, 2, 3, ...}
Je schreef:Hoe kan ik dan de elementen bepalen die niet in deze verzameling zitten?
Dat wordt niet gevraagd. Gevraagd wordt een C te vinden, met zo min mogelijk elementen, zodat A∪(B∖C)⊆(A∪B)∖(B∩C) onwaar is. Dat is:
in A∪(B∖C) is minstens één element dat niet in (A∪B)∖(B∩C) is.

Hint: Maakt uit voor een element dat niet in {A∪B} zit maar wel in N, of het in C zit? Bijvoorbeeld, maakt het uit of 8 in C is? Dus te onderzoeken C zijn een subset van...
Kan je de mogelijkheden verder inperken?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Sets en subsets

Bericht door Roy8888 » 14 jul 2015, 21:06

Ik weet niet of ik het wel begrijp. Daarom een voorbeeldje. Als ik aanneem dat C = {1}

Aan de linkerkant wordt dan in woorden gevraagd, ''(alle elementen die zowel in A) en/of (B maar niet C) zitten.''
Dit zijn dan de volgende elementen; {1,2,3,4,5,5,6,7}.

Aan de rechterkant wordt dan in woorden gevraagd, '' (alle elementen die zowel in A en/of B zitten) maar niet in ( B en C)''.
Dit zijn dan de elementen; {1,2,3,4,5,5,6,7}

Want in B zitten namelijk geen elementen die ook in C zitten, want C = {1}.

Klopt dit?

Wat betreft je hint, zou je me die nog iets verder willen uitleggen want ik denk dat je daarmee wil zeggen dat C gezocht moet worden door een aantal dingen te proberen, maar je het aantal mogelijkheden wel behoorlijk kan verkleinen. Klopt dat? Alleen zie ik niet hoe ik dit moet doen.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Sets en subsets

Bericht door David » 14 jul 2015, 21:26

Roy8888 schreef:Klopt dit?
Bijna. We werken met sets. Sets hebben allemaal unieke elementen. Voor C = {1} krijg je dus {1,2,3,4,5,6,7} links en rechts.
Je schreef:maar je het aantal mogelijkheden wel behoorlijk kan verkleinen. Klopt dat?
Klopt. Je kan C = {} proberen (kleinst mogelijke set). Wat als je sets met elementen uit N \ {1,2,3,4,5,6,7}, bijvoorbeeld C = {8}?

Je kan 'categoriën' maken, bijvoorbeeld, C met elementen uit A maar niet B. Daar een voorbeeld van, C = {1}.
Dan kan je een conclusie trekken over C = {1}. Die conclusie kan je ook gebruiken voor C = {2}. Eens?
Als je weet dat sets met 0 elementen niet kunnen, probeer je sets met 1 element, dan met 2 etc. Want je zoekt de kleinste set. Misschien kom je gaandeweg meer strategieën tegen, mocht dat nog nodig zijn.
Snap je dit meer?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Roy8888
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 701
Lid geworden op: 24 aug 2011, 21:36

Re: Sets en subsets

Bericht door Roy8888 » 14 jul 2015, 21:33

Dus je bedoeld eigenlijk dat als je c = {1} neemt en je concludeert dat dat wel voldoet aan het gestelde, dat dat ook moet gelden voor c = {2} , c = {3} en c = {4}, omdat dat allemaal elementen zijn die wel in A zitten maar niet in B. Dan ga je daarna dus kijken voor de elementen die wel in B zitten maar niet in A bijvoorbeeld? En dan kom je erachter dat het antwoord 5 moet zijn omdat bij deze situatie geldt dat links komt te staan: {1,2,3,4,5,6,7} en rechts {1,2,3,4,6,7}. En omdat links geen subset van rechts kan zijn doordat de 5 zich wel links bevind en niet rechts, is dat het antwoord...

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Sets en subsets

Bericht door David » 14 jul 2015, 21:44

Roy8888 schreef:Dus je bedoeld eigenlijk dat als je c = {1} neemt en je concludeert dat dat wel voldoet aan het gestelde, dat dat ook moet gelden voor c = {2} , c = {3} en c = {4}, omdat dat allemaal elementen zijn die wel in A zitten maar niet in B. Dan ga je daarna dus kijken voor de elementen die wel in B zitten maar niet in A bijvoorbeeld?
Klopt.

Je moet nog aantonen dat {} niet geldt. C = {5} is inderdaad het antwoord.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Sets en subsets

Bericht door arno » 15 jul 2015, 10:51

@David: De LaTeX-code voor de lege verzameling is \emptyset.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Sets en subsets

Bericht door David » 15 jul 2015, 12:08

Okay, dank je. (Ik was niet zo van plan daar LaTeX voor te gebruiken.)
Dit forum ondersteunt \o en \varnothing niet (als soms gerapporteerd), die zouden een mooier resultaat geven. \not O is close.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie