Complex

[efdee]

Is het mogelijk een definitie te geven van de grootste gemeenschappelijke deler van twee complexe getallen?

[arie]

Dan spreken we over gehele getallen van Gauss (= Gaussian integers),
zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Geheel_getal_van_Gauss

Een handig hulpmiddel is http://www.wolframalpha.com/
Als je daar een Gaussian integer invoert, bv
1+3*I
dan levert dan een informatieblad met helemaal onderaan
Gaussian prime factorization:
(1+i)*(2+i)

Als je invoert:
gcd(2-24*I, 1-17*I)
krijg je:
Result:
1+3i
en
Prime factorizations:
2-24i = i*(1+i)^2*(2+i)*(2+5i)
1-17i = -(1+i)*(2+i)*(5+2i)

Kan je gcd(2-24*I, 1-17*I) ook zelf berekenen (met het algoritme van Euclides)?

[efdee]

Dank je. Je verwijst naar een mooie pagina.
Je vraag zal ik later proberen te beantwoorden. Schikt nu niet.
Prettige pinksterdagen.

[efdee]

Kan je ggd(2-24*i, 1-17*i) ook zelf berekenen (met het algoritme van Euclides)?
Het recept zegt:
1. Noem het grootste van de beide getallen A, het andere B.
2. Trek B net zo vaak van A af totdat er 0 overblijft of een getal kleiner dan B (A mod B).
3. Wanneer er 0 overblijft, is B de ggd.
4. Zo niet, herhaal dan het algoritme met B en wat er van A over is.
Ik veronderstel, dat ik op de norm moet letten
De norm van 2-24*i is 580 , terwijl N(1-17*i) = 290 is. De eerste is de grootste
(2 - 24i) – (1 - 17i) = 1 – 7i
(2 - 24i) – (1 – 7i) = 1 – 17i
(2 - 24i) – (1 – 17i) = 1 - 7i
Dit wordt een eindeloze lus.
Het antwoord is dan: nee.

[arie]

Jouw recept geldt voor niet-complexe gehele getallen.
Wat ze in stap 2 doen is het bepalen van deling met rest:
schrijf A in de vorm:
A = q * B + r
met q (=quotient) en r (=rest) gehele getallen
waarbij 0 <= r < B.
Voor niet-complexe gehele getallen is dit hetzelfde als B herhaald van A aftrekken,
maar voor complexe gehele getallen (van Gauss) kunnen q en r ook Gaussisch complex zijn,
en dan lukt het niet meer met herhaald aftrekken.
Je kan dan het beste de deling A/B uitvoeren, en het resultaat splitsen:

Voorbeeld:
Voor A = 2 - 24i, en B = 1 - 17i levert dit:



Het dichtst bijzijnde geheel bij 41/29 = 1, dat bij 1/29 = 0.
(noot: we ronden hier in feite af: indien we hier 51/29 hadden dan zou dit 2 worden)
Van het resultaat splitsen we (1 + 0i) af.
Dit geeft:



herschrijf dit:





dus

q = 1 + 0i = 1
r = 1 - 7i

waarbij gcd(A,B) = gcd(B,r)

Lukt het nu om de volgende stap(pen) uit te werken,
dus dezelfde berekening te maken voor
gcd(B,r) met B = 1 - 17i en r = 1 - 7i ?

[efdee]

Dank voor je toelichting.
Ik kom er op terug. Sociale verplichtingen.

[efdee]

Kunt u uw laatste tekst zonder LaTeX schrijven? Dat heb ik nooit geleerd.
(Wel de formule-editor van WORD.)

[arie]

De LaTeX vertaler lijkt er sinds enkele dagen uit te liggen.
Hieronder nogmaals mijn post, nu alleen in platte tekst:


Jouw recept geldt voor niet-complexe gehele getallen.
Wat ze in stap 2 doen is het bepalen van deling met rest:
schrijf A in de vorm:
A = q * B + r
met q (=quotient) en r (=rest) gehele getallen
waarbij 0 <= r < B.
Voor niet-complexe gehele getallen is dit hetzelfde als B herhaald van A aftrekken,
maar voor complexe gehele getallen (van Gauss) kunnen q en r ook Gaussisch complex zijn,
en dan lukt het niet meer met herhaald aftrekken.
Je kan dan het beste de deling A/B uitvoeren, en het resultaat splitsen:

Voorbeeld:
Voor A = 2 - 24i, en B = 1 - 17i levert dit:

(2-24i) / (1-17i) = 41/29 + (1/29) * i

Het dichtst bijzijnde geheel bij 41/29 = 1, dat bij 1/29 = 0.
(noot: we ronden hier in feite af: indien we hier 51/29 hadden dan zou dit 2 worden)
Van het resultaat splitsen we (1 + 0i) af.
Dit geeft:

(2-24i) / (1-17i) = (1+0i) + ( (12/29) + (1/29) * i )

herschrijf dit:

(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)

(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)

dus

q = 1 + 0i = 1
r = 1 - 7i

waarbij gcd(A,B) = gcd(B,r)

Lukt het nu om de volgende stap(pen) uit te werken,
dus dezelfde berekening te maken voor
gcd(B,r) met B = 1 - 17i en r = 1 - 7i ?

[efdee]

Dank.
Uit uw tekst:
herschrijf dit:
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)

Waardoor wordt( (12/29) + (1/29) * i ) = 1 ???

Als dit uitgelegd is, schat ik in dat ik de procedure kan herhalen.
Ik ben redelijk gewend aan complexe getallen.

Maar nu terug naar de oorspronkelijke vraag:
Is het mogelijk een definitie te geven van de grootste gemeenschappelijke deler van twee complexe getallen?
Het antwoord blijkt kennelijk ja te zijn maar hoe is de definitie dan?

[arie]

(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + ( (12/29) + (1/29) * i ) * (1-17i)
(2-24i) = (1+0i) * (1-17i) + (1-7i)
Waardoor wordt( (12/29) + (1/29) * i ) = 1 ???

Het laatste product is niet 1-17i maar 1-7i:
[(12/29) + (1/29)*i] * (1-17i) =
(12/29) + (1/29)*i - (204/29)*i - (17/29)*i^2 =
(12/29) + (1/29)*i - (204/29)*i + (17/29) =
(29/29) - (203/29)*i =
1 - 7i

Is het mogelijk een definitie te geven van de grootste gemeenschappelijke deler van twee complexe getallen?

Een ggd van 2 Gaussian integers z1 en z2 is een Gaussian integer:
- dat zowel z1 als z2 deelt (zonder rest)
en
- een zo groot mogelijke norm heeft (er is geen deler van zowel z1 als z2 met een nog grotere norm).

Hier wat uitgebreidere achtergronden (in het Engels):
http://www.math.ucsd.edu/~jverstra/Gaussian1.pdf
Definitie 3.1 daarin is een definitie van de ggd.

[efdee]

Hartelijk dank