Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

door **Bryan1995** » 23 Okt 2017, 16:31

Beste forumleden,

Ik heb problemen met de volgende vraag, bepaal:

${\lim_{x\rightarrow 0}}{\frac{1-\cos ^{4}x}{x^{2}}}$

Allereest heb ik het probleem benaderd met l'Hôpital (aangezien de deling [0/0] wordt)
Dit resulteerde echter niet in een oplossing omdat de deling naar het differentiëren opnieuw [0/0] is en de term in de teller nu vrij ingewikkeld is om nogmaals te differentiëren.

Dus ben ik bij de uitwerkingen gaan kijken en hier vond ik het volgende:

$\frac{1-(1-\frac{1}{2}x^{2}+O(x^{4}))^{4}}{x^{2}}=\frac{2x^{2}+O(x^{4})}{x^{2}}=2+O(x^{2})$

Ik zie direct dat is afkomstig van de Taylor polynomen die ook gebruikt mogen worden als de deling [0/0] is. (in dat geval MacLaurin polynomen) en ik herken ook het MacLaurin polynoom van cosx dat vervolgens tot de vierde macht wordt gedaan.
Tot dusver is het mij dus duidelijk, maar nu komt er een onverklaarbare stap voor mij:

Hoe wordt deze term (teller) vervolgens vereenvoudigd naar de term naar het eerste '='-teken.

Ik hoop dat iemand mij verder kan helpen.

Alvast bedankt,
Bryan

door **SafeX** » 23 Okt 2017, 17:06

O(x^4) betekent dat alle volgende termen een factor van min x^4 hebben, wat gebeurt er dus na deling van deze termen door x^2 ...

Je kan de limiet 'eenvoudiger' bepalen. Belangstelling?

door **Bryan1995** » 23 Okt 2017, 17:47

Bedankt voor uw reactie,

Ik vraag me echter nog wel af hoe je dan precies van deze term:
$1-(1-\frac{1}{2}x^{2}+O(x^{4}))^{4}$
naar deze term gaat:
$2x^{2}+O(x^{4})$

Daarnaast ben ik ook geïnteresseerd om een andere (eenvoudigere) methode te leren.

door **SafeX** » 23 Okt 2017, 18:30

Bryan1995 schreef: $1-(1-\frac{1}{2}x^{2}+O(x^{4}))^{4}$
naar deze term gaat:
$2x^{2}+O(x^{4})$

Wat is uitgewerkt (1-a)^4?

Daarnaast ben ik ook geïnteresseerd om een andere (eenvoudigere) methode te leren.

Kan je de limiet bepalen van:

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}$

door over te gaan op de formules van 'de halve hoek' , dus cos(x)= ...

door **Bryan1995** » 23 Okt 2017, 20:12

Top, hartelijk dank.

Ik heb het uitgewerkt en ik krijg:
$a^{4}-4a^{3}+6a^{2}-4a+1$

Als ik nu $\frac{1}{2}x^{2}$ invul op de positie van $a$ , dan zie ik inderdaad dat de machten groter of gelijk worden als $x^{4}$ . En zoals u mij eerder heeft uitgelegd mag ik deze termen nu als $O(x^4)$ wegschrijven waardoor ik de juiste term behoud.

Tijdens dat ik dit typ begin ik mezelf wel af te vragen waarom je nou mag aannemen dat $O(x^{4})$ is.
Ik weet (en kan afleiden) dat de formule van het MacLaurin polynoom als volgt geschreven kan worden:

$\frac{x^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n+2})$

Kan ik nu concluderen dat als je de limiet van de functie op deze wijze gaat bepalen, je dit moet doen met n(1)?

Kan je de limiet bepalen van .....
door over te gaan op de formules van 'de halve hoek' , dus cos(x)= ...

Ik denk dat ik misschien de formule: $\cos x=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$
kan gebruiken, echter weet ik niet hoe ik vervolgens de $x^{2}$ uit de noemer moet wegwerken.

door **SafeX** » 23 Okt 2017, 21:27

Bryan1995 schreef:Als ik nu $\frac{1}{2}x^{2}$ invul op de positie van $a$ , dan zie ik inderdaad dat de machten groter of gelijk worden als $x^{4}$ . En zoals u mij eerder heeft uitgelegd mag ik deze termen nu als $O(x^4)$ wegschrijven waardoor ik de juiste term behoud.[/i]

Ok

$\frac{x^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n+2})$

De reeks is:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Ik denk dat ik misschien de formule: $\cos x=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$
kan gebruiken

Heb je formules geleerd voor cos(2x) en sin(2x)? Zo ja, schrijf die eerst eens op ...

door **Bryan1995** » 24 Okt 2017, 12:33

Heb je formules geleerd voor cos(2x) en sin(2x)? Zo ja, schrijf die eerst eens op ...

Dit zijn:
$cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x$
$sin(2x)=2sinxcosx$

De formule van $cos(2x)$ kan ik schrijven in twee nieuwe varianten:
$cos(2x)=2cos^{2}x-1$ en
$cos(2x)=1-sin^{2}x$

Ik denk dat ik met de eerste formule verder moet, dit resulteert in:
$cos(x)=2cos^{2}(\frac{x}{2})-1$

Als ik dit vervolgens invul in de oorspronkelijke limiet ontstaat er:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-2cos^{2}(\frac{x}{2})}{x^{2}}$

Nu loop ik echter vast...

door **SafeX** » 24 Okt 2017, 13:12

Bryan1995 schreef: $\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x)$

En wat krijg je als je deze gebruikt (let op, ik heb dit verbeterd)?

door **Bryan1995** » 24 Okt 2017, 14:02

Dan krijg ik:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}(\frac{x}{2})}{x^{2}}$

door **SafeX** » 24 Okt 2017, 14:19

Mooi en nu is er een (belangrijke) standaardlimiet die je kan gebruiken. Uiteraard komt de sinus daarin voor.
Weet je welke limiet ik bedoel?

door **Bryan1995** » 24 Okt 2017, 14:52

Mooi en nu is er een (belangrijke) standaardlimiet die je kan gebruiken.

Eerlijk gezegd had ik hier nog nooit van gehoord, dus heb ik eventjes 'gegoogeld'.

$\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sinx}{x})=1$

Hierdoor kan ik de limiet nou omschrijven naar:

$2\cdot \frac{\frac{1}{2}sin(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})}\cdot \frac{\frac{1}{2}sin(\frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

Hartelijk dank voor uw hulp!

door **SafeX** » 24 Okt 2017, 15:57

Mooi gelukt!
En wat wordt de limiet van je opgave?

Bryan1995 schreef:Eerlijk gezegd had ik hier nog nooit van gehoord, dus heb ik eventjes 'gegoogeld'.

Dat is vreemd, je bent met limieten bezig.
Dan is dit één van de eerste standaardlimieten.

Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Wie is er online?

Wie is er online?