Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.

Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor Bryan1995 » 23 Okt 2017, 16:31

Beste forumleden,

Ik heb problemen met de volgende vraag, bepaal:



Allereest heb ik het probleem benaderd met l'Hôpital (aangezien de deling [0/0] wordt)
Dit resulteerde echter niet in een oplossing omdat de deling naar het differentiëren opnieuw [0/0] is en de term in de teller nu vrij ingewikkeld is om nogmaals te differentiëren.

Dus ben ik bij de uitwerkingen gaan kijken en hier vond ik het volgende:



Ik zie direct dat is afkomstig van de Taylor polynomen die ook gebruikt mogen worden als de deling [0/0] is. (in dat geval MacLaurin polynomen) en ik herken ook het MacLaurin polynoom van cosx dat vervolgens tot de vierde macht wordt gedaan.
Tot dusver is het mij dus duidelijk, maar nu komt er een onverklaarbare stap voor mij:

Hoe wordt deze term (teller) vervolgens vereenvoudigd naar de term naar het eerste '='-teken.

Ik hoop dat iemand mij verder kan helpen.

Alvast bedankt,
Bryan
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 39
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor SafeX » 23 Okt 2017, 17:06

O(x^4) betekent dat alle volgende termen een factor van min x^4 hebben, wat gebeurt er dus na deling van deze termen door x^2 ...

Je kan de limiet 'eenvoudiger' bepalen. Belangstelling?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor Bryan1995 » 23 Okt 2017, 17:47

Bedankt voor uw reactie,

Ik vraag me echter nog wel af hoe je dan precies van deze term:

naar deze term gaat:


Daarnaast ben ik ook geïnteresseerd om een andere (eenvoudigere) methode te leren.
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 39
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor SafeX » 23 Okt 2017, 18:30

Bryan1995 schreef:
naar deze term gaat:



Wat is uitgewerkt (1-a)^4?


Daarnaast ben ik ook geïnteresseerd om een andere (eenvoudigere) methode te leren.


Kan je de limiet bepalen van:



door over te gaan op de formules van 'de halve hoek' , dus cos(x)= ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor Bryan1995 » 23 Okt 2017, 20:12

Top, hartelijk dank.

Ik heb het uitgewerkt en ik krijg:


Als ik nu invul op de positie van , dan zie ik inderdaad dat de machten groter of gelijk worden als . En zoals u mij eerder heeft uitgelegd mag ik deze termen nu als wegschrijven waardoor ik de juiste term behoud.




Tijdens dat ik dit typ begin ik mezelf wel af te vragen waarom je nou mag aannemen dat is.
Ik weet (en kan afleiden) dat de formule van het MacLaurin polynoom als volgt geschreven kan worden:



Kan ik nu concluderen dat als je de limiet van de functie op deze wijze gaat bepalen, je dit moet doen met n(1)?


Kan je de limiet bepalen van .....
door over te gaan op de formules van 'de halve hoek' , dus cos(x)= ...


Ik denk dat ik misschien de formule:
kan gebruiken, echter weet ik niet hoe ik vervolgens de uit de noemer moet wegwerken.
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 39
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor SafeX » 23 Okt 2017, 21:27

Bryan1995 schreef:Als ik nu invul op de positie van , dan zie ik inderdaad dat de machten groter of gelijk worden als . En zoals u mij eerder heeft uitgelegd mag ik deze termen nu als wegschrijven waardoor ik de juiste term behoud.[/i]


Ok



De reeks is:




Ik denk dat ik misschien de formule:
kan gebruiken


Heb je formules geleerd voor cos(2x) en sin(2x)? Zo ja, schrijf die eerst eens op ...
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor Bryan1995 » 24 Okt 2017, 12:33

Heb je formules geleerd voor cos(2x) en sin(2x)? Zo ja, schrijf die eerst eens op ...


Dit zijn:



De formule van kan ik schrijven in twee nieuwe varianten:
en


Ik denk dat ik met de eerste formule verder moet, dit resulteert in:


Als ik dit vervolgens invul in de oorspronkelijke limiet ontstaat er:


Nu loop ik echter vast...
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 39
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor SafeX » 24 Okt 2017, 13:12

Bryan1995 schreef:


En wat krijg je als je deze gebruikt (let op, ik heb dit verbeterd)?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor Bryan1995 » 24 Okt 2017, 14:02

Dan krijg ik:

Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 39
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor SafeX » 24 Okt 2017, 14:19

Mooi en nu is er een (belangrijke) standaardlimiet die je kan gebruiken. Uiteraard komt de sinus daarin voor.
Weet je welke limiet ik bedoel?
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor Bryan1995 » 24 Okt 2017, 14:52

Mooi en nu is er een (belangrijke) standaardlimiet die je kan gebruiken.


Eerlijk gezegd had ik hier nog nooit van gehoord, dus heb ik eventjes 'gegoogeld'.



Hierdoor kan ik de limiet nou omschrijven naar:



Hartelijk dank voor uw hulp!
Bryan1995
Vast lid
Vast lid
 
Berichten: 39
Geregistreerd: 20 Okt 2017, 12:51

Re: Limiet bepaling m.b.v. Taylor polynomen

Berichtdoor SafeX » 24 Okt 2017, 15:57

Mooi gelukt!
En wat wordt de limiet van je opgave?

Bryan1995 schreef:Eerlijk gezegd had ik hier nog nooit van gehoord, dus heb ik eventjes 'gegoogeld'.


Dat is vreemd, je bent met limieten bezig.
Dan is dit één van de eerste standaardlimieten.
SafeX
Moderator
Moderator
 
Berichten: 14198
Geregistreerd: 29 Dec 2005, 11:53


Terug naar Hoger onderwijs - overig

Wie is er online?

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten

Wie is er online?

Er zijn in totaal 3 gebruikers online :: 0 geregistreerd, 0 verborgen en 3 gasten (Gebaseerd op de gebruikers die actief waren gedurende 5 minuten)
De meeste gebruikers ooit tegelijkertijd online was 649 op 31 Okt 2014, 18:45

Gebruikers in dit forum: Geen geregistreerde gebruikers en 3 gasten
Copyright © 2009 Afterburner - Free GPL Template. All Rights Reserved.