hallo allemaal,
Ik heb een vraagstuk waar ik maar niet uit kom. ik hoopte dat hie iemand is die me kan vertelen hoe ik het kan bewijzen.
het gaat om het volgende:
http://home.zonnet.nl/tineke.aleman/pic.bmp
hierin zijn Q,S,T,P de middens ven de respectiefelijke lijnstukken.
(P= midden DC , S=midden AC enz.)
er moet bewezen worden Dat de blauwe lijnen een parallelogram vormen.
ik snap dat er in ieder geval twee mogelijkheden zijn om dit te bewijzen.
Je kan met bv. hoeken bewijzen dat de overstaande lijnstukken parralell zijn.
of je kan met verhoudingen ofzo bewijzen dat de overstaande lijnen paren even lang zijn.
Maar voor beide kan ik geen bewijs leveren
alvast bedankt voor de hulp.
m.v.g laurens
Bewijzen in de vlakke meetkunde, hulp gezocht.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
QS = .5BC en QS || BC
Bewijs:
In driehoek ABC, hebben we:
punt Q op het midden van AB
punt S op het midden van AC
AQ = QB = .5AB
AS = SC = .5AC
Gelijkvormig?
hoek QAS = hoek BAC ( Duidelijk, kan niet anders. Zie het figuur )
Als de driehoek gelijkvormig is, hebben we
AQ/AB = AS/AC
We hebben een aantal waarden, dus die vullen we in...
.5AB/AB = .5AC/AC
.5 = .5
Hey, dat klopt als een bus... Dus, deze driehoek moet gelijkvormig zijn. AQS gelijkvormig met ABC
Hieruit volgt QS = .5 BC en QS || BC
Ditzelfde trucje doen we met de driehoek BCD. Ook hier komen we op
PT = .5 CB en PT || CB
PT || CB en QS || BC daaruit volgt PT || QS
PT = .5 CB en QS = .5 BC daaruit volgt PT = QS
Ook kunnen we deze zelfde truc doen met de overige twee driehoeken, ABD en ACD, waar we bewijzen dat PS en QT dezelfde lengte hebben en evenwijdig zijn.
Vanuit deze conclusies volgt dat de vierhoek in het midden een parralellogram is.
Sterker gezegt, wanneer wij van een vierhoek de middens van de diagonalen verbinden met de middens van twee overeenstaande zijden krijgen wij een parallelogram. Dat geld voor elke 4hoek die opgebouwt kan worden uit 2 3hoeken ( in andere woorden, niet een 3hoek waar een 3hoek brok uit mist )
Ge-experimenteer geeft mij het idee dat ditzelfde klopt voor 3hoeken waar een hap uit mist... Maar dit kan ik nog niet zo snel wiskundig beoordelen.
Na verder geteken, kom ik tot de conclusie dat voor elke 4hoek dit geldt.
Bewijs:
In driehoek ABC, hebben we:
punt Q op het midden van AB
punt S op het midden van AC
AQ = QB = .5AB
AS = SC = .5AC
Gelijkvormig?
hoek QAS = hoek BAC ( Duidelijk, kan niet anders. Zie het figuur )
Als de driehoek gelijkvormig is, hebben we
AQ/AB = AS/AC
We hebben een aantal waarden, dus die vullen we in...
.5AB/AB = .5AC/AC
.5 = .5
Hey, dat klopt als een bus... Dus, deze driehoek moet gelijkvormig zijn. AQS gelijkvormig met ABC
Hieruit volgt QS = .5 BC en QS || BC
Ditzelfde trucje doen we met de driehoek BCD. Ook hier komen we op
PT = .5 CB en PT || CB
PT || CB en QS || BC daaruit volgt PT || QS
PT = .5 CB en QS = .5 BC daaruit volgt PT = QS
Ook kunnen we deze zelfde truc doen met de overige twee driehoeken, ABD en ACD, waar we bewijzen dat PS en QT dezelfde lengte hebben en evenwijdig zijn.
Vanuit deze conclusies volgt dat de vierhoek in het midden een parralellogram is.
Sterker gezegt, wanneer wij van een vierhoek de middens van de diagonalen verbinden met de middens van twee overeenstaande zijden krijgen wij een parallelogram. Dat geld voor elke 4hoek die opgebouwt kan worden uit 2 3hoeken ( in andere woorden, niet een 3hoek waar een 3hoek brok uit mist )
Ge-experimenteer geeft mij het idee dat ditzelfde klopt voor 3hoeken waar een hap uit mist... Maar dit kan ik nog niet zo snel wiskundig beoordelen.
Na verder geteken, kom ik tot de conclusie dat voor elke 4hoek dit geldt.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''