Limiet van een quotient met LOG

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 35
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Limiet van een quotient met LOG

Bericht door henkoegema » 04 okt 2020, 13:17

In de theorie staat: De algemene formule luidt:
Afbeelding

Afbeelding

Toen ik deze opgave zag, zei ik (zonder iets te berekenen) dat de uitkomst van allemaal nul (0) moet zijn, omdat ze aan "de algemene formule" voldoen.

Mag ik dat zo stellen, of moet ik toch berekenen. (hoe?)

Mvgr.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Limiet van een quotient met LOG

Bericht door arie » 04 okt 2020, 15:46

OK, je kan direct de stelling toepassen.

Noot: Ten overvloede (opgave 18.16.e): de stelling op pagina 151 geldt ook voor 0<a<1.

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 35
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limiet van een quotient met LOG

Bericht door henkoegema » 04 okt 2020, 16:33

arie schreef:
04 okt 2020, 15:46
..........................................
Noot: Ten overvloede (opgave 18.16.e): de stelling op pagina 151 geldt ook voor 0<a<1.
Betekent dit dat wat op blz.151 staat: "Voor a > 1 is f (x) = \(a_{logx }\) een stijgende functie, maar.........", dat dit dan moet zijn: Voor a >0 ? :?

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 35
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limiet van een quotient met LOG

Bericht door henkoegema » 04 okt 2020, 18:28

henkoegema schreef:
04 okt 2020, 16:33
arie schreef:
04 okt 2020, 15:46
..........................................
Noot: Ten overvloede (opgave 18.16.e): de stelling op pagina 151 geldt ook voor 0<a<1.
Betekent dit dat wat op blz.151 staat: "Voor a > 1 is f (x) = \(a_{logx }\) een stijgende functie, maar.........", dat dit dan moet zijn: Voor a >0 ? :?
Negeer bovenstaande a.u.b.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Limiet van een quotient met LOG

Bericht door arie » 04 okt 2020, 18:30

Nee, voor 0 < a < 1 is \(f(x) = {}^a\log x\) dalend: als x groter wordt, dan wordt f(x) kleiner.
In dit geval geldt: als x naar +oneindig gaat, dan gaat \({}^a\log x\) naar -oneindig.
In het plaatje is dat weergegeven voor a=1/4, a=1/2, a=2/3 en a=5/6.

Ter controle:
neem a = 1/10, dan is
\({}^{1/10}\log 1 = 0\;\) want \(\;(1/10)^0 = 1\)
\({}^{1/10}\log 10 = -1\;\) want \(\;(1/10)^{-1} = 10\)
\({}^{1/10}\log 100 = -2\;\) want \(\;(1/10)^{-2} = 100\)

Maar omdat \(x^q\) voor grote x veel sneller stijgt naar +oneindig dan \({}^a\log x\) daalt naar -oneindig (voor 0<a<1), is de limiet op pagina 151 ook voor deze waarden van a gelijk aan nul.

EDIT:
gekruiste posts...

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 35
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Limiet van een quotient met LOG

Bericht door henkoegema » 04 okt 2020, 18:47

arie schreef:
04 okt 2020, 18:30
Nee, voor 0 < a < 1 is \(f(x) = {}^a\log x\) dalend: als x groter wordt, dan wordt f(x) kleiner.
In dit geval geldt: als x naar +oneindig gaat, dan gaat \({}^a\log x\) naar -oneindig.
In het plaatje is dat weergegeven voor a=1/4, a=1/2, a=2/3 en a=5/6.

Ter controle:
neem a = 1/10, dan is
\({}^{1/10}\log 1 = 0\;\) want \(\;(1/10)^0 = 1\)
\({}^{1/10}\log 10 = -1\;\) want \(\;(1/10)^{-1} = 10\)
\({}^{1/10}\log 100 = -2\;\) want \(\;(1/10)^{-2} = 100\)

Maar omdat \(x^q\) voor grote x veel sneller stijgt naar +oneindig dan \({}^a\log x\) daalt naar -oneindig (voor 0<a<1), is de limiet op pagina 151 ook voor deze waarden van a gelijk aan nul.

EDIT:
gekruiste posts...
Dank je Arie.
Het is duidelijk. :)

Plaats reactie