Versnelling zonder differentiaal/integraal.

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 35
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Versnelling zonder differentiaal/integraal.

Bericht door henkoegema » 02 feb 2021, 17:08

Een voorwerp heeft op t = 0 een snelheid van 4 m/s en ondergaat gedurende 10 seconden een versnelling.
De versnelling neem tussen t=0 en t=10 lineair af van 5 m/\(s^{2}\) tot 0 m/\(s^{2}\).
Hoeveel meter wordt gedurende deze 10 seconden afgelegd?

Hoe gaat de uitwerking van dit vraagstuk zonder diff/integraal ?

Formules:
x = \(x_0\) + \(v_{0}\) . t + ½ . a . \(t^{2}\) (afstand)
v = \(v_{0}\)+ a . t (snelheid)
\(v^{2}\) = \(v^{2}_{0}\) + 2 . a . (x – \(x_{0}\)) (snelheid)

Uitwerking:

a = - ½ . t + 5
Als ik a invul in v = \(v_{0}\) + a . t , krijg ik v = 4 + (- ½ . t + 5).t = - ½ \(t^{2}\) +5t +4 :?:
Maar hier gaat het al mis , want de integraal van a is - ¼\(t^{2}\) +5t +4

Hoe los ik dit op?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3583
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.

Bericht door arie » 03 feb 2021, 00:11

Dit lijkt me zonder differentiaal/integraalrekening niet op te lossen.
Wat er mis gaat met je formules is dat je formules zijn afgeleid voor constante versnelling a.
Maar in dit geval is de versnelling een functie van tijd:
\(a_t=j\cdot t + a_0\)
waarbij constante j = de ruk = jerk = -1/2.
(zie bv. https://nl.wikipedia.org/wiki/Ruk_(natuurkunde)).

Voor snelheid en locatie krijgen we dan:
\(v_t = \frac{1}{2}jt^2 + a_0t + v_0\)
en
\(x_t = \frac{1}{6}jt^3 + \frac{1}{2}a_0t^2 + v_0t + x0\)


Een zelfde soort fout zou optreden als we bij constante versnelling a zouden zeggen:
\(x_t = v\cdot t + x_0\)
en
\(v_t = a\cdot t + v_0\)
dus
\(x_t = (a\cdot t + v_0)\cdot t + x_0 = at^2 + v_0t + x_0\)
Ook hier mogen we de constante snelheid \(v\) niet zonder meer vervangen door variabele snelheid \(v_t\), maar moeten we netjes via de definitie met de differentiaal/integraalrekening werken. Ook de formules die jij gaf (voor \(v_t\) en \(x_t\) bij constante a) zijn hiermee afgeleid.


PS: de \(v_0^2\) in je eerste post heb ik vervangen door \(v_0\)

henkoegema
Vast lid
Vast lid
Berichten: 35
Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.

Bericht door henkoegema » 03 feb 2021, 15:53

    Dank voor je antwoord. :)
    Zelf vermoedde ik al dat het daar iets mee te maken had.

    Ik heb het totale interval van 10 seconden opgedeeld in 100 tijdseenheden.
    Dus voor ieder tijdsinterval van 0.1 sec de versnelling en snelheid en afstand in een spreadsheet gezet.
    Dan met de "klassieke" formules uitgerekend.

    Kom dan met een redelijk goede benadering op een afstand van 205,5 meter

    De laatste seconde(9-10):

    Code: Selecteer alles

    t	  a         v	  s
    9	0.500	28.525	176.8
    9.1	0.450	28.570	179.6
    9.2	0.400	28.610	182.5
    9.3	0.350	28.645	185.4
    9.4	0.300	28.675	188.2
    9.5	0.250	28.700	191.1
    9.6	0.200	28.720	194.0
    9.7	0.150	28.735	196.8
    9.8	0.100	28.745	199.7
    9.9	0.050	28.750	202.6
    10	0.000	28.750	205.5  
    p.s. Had nog nooit van Ruk en Jerk gehoord.
    Weer een hoop geleerd. :D

    arie
    Moderator
    Moderator
    Berichten: 3583
    Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

    Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.

    Bericht door arie » 05 feb 2021, 19:35

    Analytisch hadden we met de gegeven beginvoorwaarden:
    \(v(t) = -\frac{1}{4}t^2 + 5t + 4\)
    en
    \(x(t) = -\frac{1}{12}t^3 + \frac{5}{2}t^2 + 4t\)

    Dit levert
    \(v(10) = 29\)
    en
    \(x(10) = 206\frac{2}{3}\)

    Jij benadert de integralen als een Riemannsom met op hele kleine tijdsintervallen dt = 1/10 een constante versnelling en snelheid.
    Als ik in elk tijdsinterval de versnelling en snelheid van het begin van het betreffende interval neem, dan kom ik voor verschillende waarden van dt uit op deze eindwaarden voor x en v:

    Code: Selecteer alles

    dt=1            x(10)=218.7500      v(10)=31.5000
    dt=1/10         x(10)=207.9125      v(10)=29.2500
    dt=1/100        x(10)=206.7916      v(10)=29.0250
    dt=1/1000       x(10)=206.6792      v(10)=29.0025
    dt=1/10000      x(10)=206.6679      v(10)=29.0002
    dt=1/100000     x(10)=206.6668      v(10)=29.0000
    dt=1/1000000    x(10)=206.6667      v(10)=29.0000
    Je ziet het dan mooi convergeren: voor steeds kleinere tijdsintervallen wordt de benadering steeds beter.
    Maar dit is eigenlijk nog geen echt alternatief voor de differentiaal/integraal-rekening uit je beginvraag.

    henkoegema
    Vast lid
    Vast lid
    Berichten: 35
    Lid geworden op: 02 jul 2019, 17:58

    Re: Versnelling zonder differentiaal/integraal.

    Bericht door henkoegema » 05 feb 2021, 23:26

    arie schreef:
    05 feb 2021, 19:35
    ..................................................
    .................................................
    Maar dit is eigenlijk nog geen echt alternatief voor de differentiaal/integraal-rekening uit je beginvraag.
    Toch ben ik zeer tevreden met je antwoord(en). :)

    Plaats reactie