Complexe getallen - moeilijke oefening

[JelleLefevre]

Heeft er iemand enig idee hoe je volgende oefening oplost?

Gegeven twee complexe getallen a en b (vast). Noem Pa, Pb en Pz de beeldpunten van de complexe getallen a, b en z in het complexe getallen vlak. Bepaal het complexe getal f(z) dat correspondeert met het volgende beeldpunt: het resultaat van de spiegeling van Pz tov de rechte door a en b.

[arie]

stap 1: transleer het vlak zodanig dat a op de oorsprong komt te liggen
stap 2: roteer het vlak zodanig dat a-b op de reele as (= 'x-as') komt te liggen
stap 3: spiegel in de reele as
stap 4: roteer a-b weer terug
stap 5: leg a weer op de oorspronkelijke plek

Vertaal dit naar complex rekenen:
stap 1: wat is het beeld van b en z?
stap 2: waarmee moet je vermenigvuldigen?
stap 3: waarin gaat z = p+q*i over bij spiegeling in de reele as?
etc.

Kom je hiermee verder?

[JelleLefevre]

Bedankt voor de uitleg, maar ik heb toch moeite met inzien hoe ik dit naar concreet (abstract) rekenwerk kan vertalen...

[arie]

Stap 1: de translatie zal geen problemen geven: we moeten \(a\) van elk getal aftrekken:



In deze stap wordt \(z\) dus afgebeeld op \(z-a\)


Stap 2: rotatie over een hoek \(\theta\) betekent elk getal vermenigvuldigen met \(e^{i\theta}\).
In ons geval hebben we: \(arg(b-a) = \varphi\)
en willen we het vlak roteren over \(- arg(b-a)\) zodat de blauwe lijn in het plaatje samenvalt met de reele as.

Hier wordt \(z-a\) dus afgebeeld op \((z-a)\cdot e^{........}\)


Stap 3: spiegelen in de reele as = elk getal wordt afgebeeld op zijn complex geconjugeerde, dus

\((z-a)\cdot e^{........}\) wordt afgebeeld op \(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\)


Stap 4: nu moeten we dit resultaat weer terugdraaien over \(arg(b-a)\):

\(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\) wordt afgebeeld op \(\left(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\right)\cdot e^{........}\)


Stap 5: Tenslotte moeten we het vlak weer terugschuiven naar de oorspronkelijke positie: tel er \(a\) bij op:

\(\left(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\right)\cdot e^{........}\) wordt afgebeeld op \(\left(\left((z-a)\cdot e^{........}\right)^*\right)\cdot e^{........} + a\)

Kan je deze laatste uitdrukking na invullen ook nog verder vereenvoudigen?


PS:
Er zijn alternatieve manieren om deze vraag op te lossen, het kan zijn dat je boek/cursus/docent een andere weg bewandelt. Indien dit het geval is geef dan iets meer informatie over je voorkennis bij deze opgave.

[JelleLefevre]

Hartelijk bedankt voor de opheldering! Dit is de uitwerking en het inzicht dat ik nodig had