Sommatie n*x^n

2_05 · Bericht door **2_05** » 15 jun 2008, 11:05

Bestaat er een standaardoplossing voor de volgende sommatie?
$\sum_{n=0}^{\infty} n\cdot x^n$

2_05 · Bericht door **2_05** » 15 jun 2008, 11:22

Beetje dom dat je altijd zelf achter het antwoord komt op het moment dat je de vraag heb gepost. Vind het alleen raar dat deze niet op websites als Wikipedia in het rijtje sommaties staat.
$\frac{x}{(1-x)^2}$

boZZy · Bericht door **boZZy** » 13 sep 2008, 11:00

Ik denk dat die wel op Wiki staat, maar je moet zoeken onder de juiste benaming

De rij / reeks die je voorstelt is een meetkundige rij/reeks...

Aangezien je de sommatie moet zoeken, betreft het een meetkundige reeks.
Wiki maar eens achter 'meetkundige reeks'

martinvb · Bericht door **martinvb** » 13 sep 2008, 13:09

Let wel op dat dit alleen geldig is voor -1<x<1. Dit aangezien het quotient 1/(1-x) een convergentiestraal van 1 heeft.

Bewijs:
Er geldt $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^4+\cdots=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n}$
Immers, schrijf de vermenigvuldiging van $(1+x+x^2+x^3+...)\times(1+x+x^2+x^3+...)$ maar uit...

Dit links en rechts met x vermenigvuldigen: $\frac{x}{(1-x)^2}=x\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^{n+1}=\sum_{n=1}^\infty nx^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n$ . De laatste stap mag omdat n=0 geen bijdrage geeft.

Meer informatie: Calculus 5e editie, Robber A Adams, pag 558.

Wiskundeforum

Sommatie n*x^n

Sommatie n*x^n

Re: Sommatie n*x^n

Re: Sommatie n*x^n

Re: Sommatie n*x^n