Update covariantie matrix.

werecow · Bericht door **werecow** » 11 okt 2008, 15:32

Hoi,

Ik heb een vraag over het updaten van een schatting van een covariantiematrix van (arbitraire dimensionaliteit $d$ ).
Ik heb een normale verdeling met geschatte parameters van gemiddelde $\vec{\mu}_n$ en covariantiematrix $\Sigma_n$ , die gebaseerd zijn op een dataset $D$ bestaande uit $n$ gewogen punten, $D=\{w_1\vec{x}_1, ..., w_n\vec{x}_n\}$ (met elke $\vec{x}_i$ een $d$ -dimensionale vector, $\vec{x_i}=$x_{i,1},...,x_{i,d}$$ ). Het totale gewicht gesomd over alle punten na het $n$ -de voorbeeld noemen we $w_n$ .
Ik krijg nu een nieuw punt binnen, $\vec{x}_o$ , met gewicht $w_o$ , en wil de huidige covariantie matrix (en ook gemiddelde) updaten met dit punt. Ik heb dan de volgende update formules:

$w_{t} = w_{t-1} + w_{o}$

$\vec{\mu}_{t} = \vec{\mu}_{t-1} + \frac{w_{o}(\vec{x}_o - \vec{\mu}_{t-1})}{w_t}$

$\Sigma_{t} = \frac{w_{t-1}\Sigma_{t-1} + w_o(\vec{x}_o - \vec{\mu}_{t})^{T}(\vec{x}_o - \vec{\mu}_{t-1})}{w_t}$

(waarbij $t$ het huidige tijdstip is, oftewel het aantal punten is in de dataset - inclusief $\vec{x}_o$ - dus gelijk aan $o$ ). Mijn vraag is nu: kloppen deze update formules, en dan vooral de formule voor $\Sigma$ ?