Wiskundeforum

Hallo allemaal,

2(x-1)/(x-1)=2 met x≠1 (niet delen door 0). Maar als nu de vergelijking
is: 2(x-a)/(x-a)=2 met x≠a. a kan elk getal zijn. voor geen enkele a is er een geldige waarde. Stel je nou voor dat er staat
n(x-a)/(x-a)=n x≠a. voor geen enkele a een uitkomst, dan bestaat er geen enkele n en daarbij geen getal.
Er moet wel een "fout" zitten in de redenering, want er worden nogal vaak getallen gebruikt... maar wat?

alvast bedankt

Voor geldt: . Voor x = a krijgen we de uitdrukking , wat aanleiding geeft tot het beschouwen van .

Hallo arno,

bedankt voor je reactie, maar er is toch een verticale asymptoot voor x=a, dat wil toch zeggen dat x≠a?

Het feit dat een functie f in een punt x = a niet gedefinieerd is terwijl wel gedefinieerd is wil zeggen dat f voor x = a een zogenaamde ophefbare discontinuïteit heeft. Als je de grafiek van f tekent, dan zit er op de plaats van x = a een perforatie in de grafiek van f. De functie f is daar weliswaar niet gedefinieerd en is daar niet continu, maar omdat bestaat betekent dit dat de grafiek van f in dat punt toch een bepaald gedrag vertoont. Er is alleen sprake van een verticale asymptoot in x = a als niet bestaat.

Hallo Arno,

Ik begrijp het niet helemaal, op wikipedia (http://nl.wikipedia.org/wiki/Asymptoot# ... _asymptoot) staat dat je een verticale asymptoot hebt x=a als lim x↑a f(x)=±∞ en/of x↓a f(x)=±∞. Maar wat wil die pijl naar beneden dan zeggen? wat ik tot nu toe heb gehad(middelbare school wi) ging de pijl naar rechts. maar je dan dan toch spreken van een verticale asymptoot in n(x-a)/(x-a) voor x=a. Daarmee kan je overal een perforatie in de grafiek plaatsen en een getal niet laten bestaan?

Kan dit onderwerp naar (bv) Voortgezet onderwijs?

Een pijl naar boven duidt op een linkerlimiet en een pijl naar beneden duidt op een rechterlimiet. Als en , dan bestaat alleen als p = q. In dat geval geldt: . Indien de lijn x = a een verticale asymptoot is, dan bestaan en geen van beide, dus bestaat ook niet.

Hallo,

Safex, vind verplaatsen wel goed, kan je/ik dan die berichten daarheen zetten of moeten we daar verder gaan.
Arno, kan je dan van f(x)=ln(x) zeggen lim x↓a f(x)=-∞ a=0, omdat rechterlimiet wil zeggen van rechts naar links, of is het nou net andersom, met pijl omhoog of begrijp ik het helemaal fout. wat je zei over uitdrukking n(x-a)/(x-a)=n voor x=a krijg je uitdrukking 0/0. dan lijkt het erop of 0/0 = 1. Tsagld had me uitgelegd dat dat niet zo is, maar lijkt hier wel op

Let op: bij een limiet waarbij x nadert tot a, kijk je nooit naar x=a maar alleen naar elke omgeving (hoe klein ook...) van x=a.
0/0 is dus niet gedefinieerd, want:


bij x↑a zet je de getallenlijn van onder naar boven en je zegt ook x nadert van onder tot a.

De grafiek van ln x heeft x = 0 (de y-as) als asymptoot omdat ln x voor x = 0 niet gedefinieerd is, dus dat betekent dat niet bestaat.
Ga voor het gedrag van uit van x = a-h, waarbij h>0, dan geldt: en . Ga nu voor het gedrag van uit van x = a+h, waarbij h>0, dan geldt: en . Er geldt dan: .

Hallo,

Dit is hoe ik het nu begrijp, ik probeer het uit te leggen aan de hand van deze formule: f(x)=1/(x+2)+1.
Deze formule heeft een linkerlimiet lim x↑-2 f(x) = 1, want de waarde van de x-as naar de limietwaarde loopt op, hij "nadert" van links en "beweegt" naar rechts. De formule heeft een rechterlimiet lim x↓-2 f(x) = 1, want de waarde van de x-as naar de limietwaarde loopt af, hij "nadert" van rechts en "beweegt" naar links.
Omdat deze grafiek een linker- en een rechterlimiet heeft, met dezelfde uitkomst, 1, lim x→-2 f(x) = 1 geldt Dit lijkt misschien een beetje jip-en-janneke-taal, maar als het zo is, is het mij (en eventuele andere lezers misschien) duidelijk.

Bedoel je:

???
Want dat staat er nu wel!

Hallo SafeX,

Ja, dat bedoelde ik wel, maar aan je vraag te lezen is dat niet helemaal juist?
Nu ik de post van Arno nog is nalees zie ik dat er een verticale asymptoot is, dus lim x↑-2 f(x) en lim x↓-2 f(x) bestaan niet. Wat "moet" er wel staan?

Ja, dat vroeg ik me dus af, maar misschien bedoel je:

SafeX schreef:

Alleen zou ik dan x+3 in de noemer zetten.
De andere notatie geeft iig niet de uitkomst die jij aangeeft.

Iets anders is dat je de limiet alleen maar gebruikt als het bepaalde punt (de x-waarde) niet gedefinieerd is, anders gezegd niet tot het domein behoort.

Hallo SafeX

Ik bedoel dus wel 1/(x+2) met 1 erbij opgeteld. De noemer is dus (x+2). dus \frac{1}{(x+2)}\+1. de niet-gedefinieerde x, de limiet is dan -2. de uitkomst is toch ∞, geen bestaande uitkomst?