Bewijs via de eerste afgeleide

azerty · Bericht door **azerty** » 13 mei 2006, 09:37

Ik moet het volgende bewijzen:
http://users.skynet.be/vanlaethem/probleem.jpg

Het verste dat ik geraak is dat f(x)= som van de afstanden= vierkantswortel(2) * ( vierkantswortel(-x+1) + vierkantswortel(-y+1) ) met x en y de coordinaten van het punt c.
Ik vermoed dat je met de afgeleide gaat moeten werken maar ik weet niet hoe je dat doet met 2 variabelen. Als je alles op 1 variabele zet bekom je zo een lange en ingewikelde vergelijking dat het bijna onmogelijk is om daar een nulpunt van de bepalen.

Ik vermoed dat het antwoord x= -cos 45° en y= -sin 45°. Ik kan het aleen niet bewijzen.

azerty

Edit: even een link van het plaatje gemaakt - Marco

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 13 mei 2006, 22:01

Als eerste zullen we even kijken in welk kwadrant C zich zal moeten bevinden.

Laten we eerst kijken aan welke kant van de x-as: Onder, of boven de x-as.

Neem aan dat C zich boven de x-as bevindt, en vindt nu een plaats dat de afstand AC gelijk is, maar de afstand BC anders... je zult je dan aan de andere kant van de x-as moeten bevinden... ook is het duidelijk dat dit verder weg is.
Hieruit volgt: $C_y \le 0$ .

Deze zelfde logica kunnen we gebruiken voor het x-coordinaat. Hieruit volgt dat $C_x \le 0$

Nu kunnen we, als we de x-coordinaat weten, en de y-coordinaat, de afstand CO uitrekenen: $C_x^2 + C_y^2 = r^2$
We weten dat de afstand $r = 1$ , dus vinden we:
$C_y = - \sqrt{1 - C_x^2}$

Laten we nu eens de afstand CA uitdrukken in C_y en C_x

$CA = \sqrt{(A_x - C_x)^2 + (A_y - C_y)^2}$

En idem voor CB.
$CB = \sqrt{(B_x - C_x)^2 + (B_y - C_y)^2}$

En de som:
$CA + CB = \sqrt{(A_x - C_x)^2 + (A_y - C_y)^2} + \sqrt{(B_x - C_x)^2 + (B_y - C_y)^2}$
Even een paar constanten invullen: A = (1,0). B = (0,1)
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + (0 - C_y)^2} + \sqrt{(0 - C_x)^2 + (1 - C_y)^2}$
Vereenvoudigen?
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + C_y^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 - C_y)^2}$
$C_y$ invullen!
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + 1 - C_x^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 + \sqrt{1 - C_x^2})^2}$
$C_x$ maakt het lastig lezen! Even gewoon $x$ van maken!
$CA + CB = \sqrt{(1 - x)^2 + 1 - x^2} + \sqrt{x^2 + (1 + \sqrt{1 - x^2})^2}$
Zoveel mogelijk haakjes wegwerken!
$\sqrt{2 - 2x} + \sqrt{2 + 2\sqrt{1-x^2}$

En ook nog een vrij pittige afgeleide:
$afstand' = - \frac{1}{\sqrt{2-2x}} - \frac{x}{\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}} \sqrt{1-x^2}}$
Oplossen brengt ons op $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ .

Dat was een methode... een ander is om te zeggen:

$C_x = cos \alpha$
$C_y = sin \alpha$
$\pi \le \alpha \le 1\frac{1}{2}\pi$ (hoek van 180 tot 270 graden)

Afstand-formules! (Ik heb hier een aantal stappen overgeslagen, om eerlijk te wezen!
$CA = \sqrt{(1-cos \alpha)^2 + (sin \alpha)^2}$
$CB = \sqrt{(cos \alpha)^2 + (1-sin \alpha)^2}$
En de som!
$CA+CB = \sqrt{(1-cos \alpha)^2 + (sin \alpha)^2} + \sqrt{(cos \alpha)^2 + (1-sin \alpha)^2}$
Opmerkelijk is $(1-cos \alpha)^2 = (sin \alpha)^2$ en $(1-sin \alpha)^2 = (cos \alpha)^2$ .
Kennis toepassen
$CA+CB = \sqrt{(sin \alpha)^2 + (sin \alpha)^2} + \sqrt{(cos \alpha)^2 + (cos \alpha)^2}$
Afgeleide:
$afstand' = \frac{\sqrt{2} sin(\alpha) cos(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)^2}} - \frac{\sqrt{2} sin(\alpha) cos(\alpha)}{\sqrt{cos(\alpha)^2}}$
Oplossen voor 0, en hieruit volgt dat:
$\sqrt{sin(\alpha)^2} = \sqrt{cos(\alpha)^2}$
Beide $sin \alpha$ en $cos \alpha$ zijn negatief op dit kleine stukje, en dus volgt:
$sin \alpha = cos \alpha$
Nu zijn wij lui... en willen we natuurlijk zonder nadenken, een antwoord hebben... en als we nu 's wat uit ons hoofd hadden geleerd, wisten we het wel. MAar zo ben ik niet. Of toch wel? Even tekenen, geeft ons dat $\alpha = - \frac{3}{4} \pi$ , en komt overeen met $\alpha = 1 \frac{1}{4} \pi$ .
Beide oplossingen geven de juiste afstand...

$afstand = 2 \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 3,6956$

Leuk vraagstuk!

azerty · Bericht door **azerty** » 14 mei 2006, 09:33

$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + C_y^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 - C_y)^2}$
$C_y$ invullen!
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + 1 - C_x^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 + \sqrt{1 - C_x^2})^2}$

Moet dat in de tweede stap in de tweede wortel niet $sqrt{C_x^2 + (1 - \sqrt{1 - C_x^2})^2}$ zijn? Waarom wordt die min daar ineens een plus want je vervangt $C_y$ toch gewoon door $\sqrt{1 - C_x^2}$ en het teken daarvoor blijft toch hetzelfde.

azerty · Bericht door **azerty** » 14 mei 2006, 10:16

Sjoerd Job schreef:Opmerkelijk is $(1-cos \alpha)^2 = (sin \alpha)^2$ en $(1-sin \alpha)^2 = (cos \alpha)^2$ .

$(1-cos \alpha)^2$ is niet gelijk aan $(1-cos^2 \alpha)$ en de vergelijkingen die jij daar post kloppen dan toch niet.

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 14 mei 2006, 10:42

azerty schreef:
Sjoerd Job schreef:Opmerkelijk is $(1-cos \alpha)^2 = (sin \alpha)^2$ en $(1-sin \alpha)^2 = (cos \alpha)^2$ .
$(1-cos \alpha)^2$ is niet gelijk aan $(1-cos^2 \alpha)$ en de vergelijkingen die jij daar post kloppen dan toch niet.

Inderdaad... het is goed wanneer mensen wel wakker zijn... was ik namelijk niet

...

Ok, even opzoeken wat de laatste korrecte vergelijking was:
$CA+CB = \sqrt{(1-cos \alpha)^2 + (sin \alpha)^2} + \sqrt{(cos \alpha)^2 + (1-sin \alpha)^2}$

Dan moeten we maar eens verder rekenen... Haakjes wegwerken dan eerst maar
$CA+CB = \sqrt{1 - 2cos \alpha + cos^2 \alpha + sin^2 \alpha} + \sqrt{cos^2 \alpha + 1- 2sin \alpha + sin^2 \alpha}$
Rekenregel:
$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$
En deze mogen we nu wel gebruiken
$CA+CB = \sqrt{2 - 2cos \alpha} + \sqrt{2- 2sin \alpha}$
Afgeleide!
$afstand' = \frac{sin \alpha}{sqrt{2-2cos \alpha}} - \frac{cos \alpha}{sqrt{2-2sin \alpha}}$
0 stellen
$\frac{sin \alpha}{sqrt{2-2cos \alpha}} = \frac{cos \alpha}{sqrt{2-2sin \alpha}}$
Beide kanten kwadrateren!
$\frac{sin^2 \alpha}{2-2cos\alpha} = \frac{cos^2 \alpha}{2-2sin\alpha}$
Kruislings verm.
$sin^2 \alpha \times \left(2-2sin\alpha\right) = cos^2 \alpha \times \left(2-2cos\alpha\right)$
Duidelijk is een oplossing: $sin \alpha = cos \alpha$ ...
Als we dit oplossen, komen we op
$\alpha = \frac{1}{4} \pi \vee \alpha = - \frac{3}{4} \pi$
Het antwoord klopte wel, maar een stap in de berekening niet...

Nu voor je vraag bij mijn andere berekening:
$C_y = - \sqrt{1 - C_x^2}$
wat text...
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + C_y^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 - C_y)^2}$
$C_y$ invullen!
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + 1 - C_x^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 + \sqrt{1 - C_x^2})^2}$

Laten we dit eens uitvoerig invullen!
Even goed invullen

$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + \left(- \sqrt{1 - C_x^2}\right)^2} + \sqrt{C_x^2 + (1 - \left(- \sqrt{1 - C_x^2}\right))^2}$
$- \cdot - = +$ en ook geld er $\left(- \sqrt{a}\right)^2 = a$
$CA + CB = \sqrt{(1 - C_x)^2 + \left(1 - C_x^2\right)} + \sqrt{C_x^2 + (1 + \sqrt{1 - C_x^2})^2}$
Ook hoop dat dit het wat duidelijker heeft gemaakt.

azerty · Bericht door **azerty** » 14 mei 2006, 11:08

Het is opgelost, heb het dan via de sinus en de cosinus opgelost via dezelfde methode. Eens je die start hebt, ben je vertrokken met de oefening. In ieder geval bedankt voor alle hulp.

Bert · Bericht door **Bert** » 14 mei 2006, 11:56

ik weet niet of het hier zo gedaan is maar ik zou het doen met een parameter vergelijking van die cirkel en dan theta laten lopen van o tot pi/2.

Groeten.