Verzamelingenleer, bewering bewijzen

[pppp]

Mij is gevraagd of { {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) } = { {n} | n in N } klopt.

Ik denk dat dit niet klopt, want { {n} | n in N } laat ruimte over voor de 0.
De 0 kan je in principe in de eerste 'vergelijking' niet invullen, omdat de voorwaarde is dat x en y uit N+ komen, anders kun je te maken krijgen met een 0-deling.
Als er zou hebben gestaan { {n} | n in N+ }, dan zou het wel kloppen. Als x/y gelijk moet zijn aan y/x, dan betekent dat dat x en y hetzelfde getal moeten voorstellen. Aangezien {x,x} hetzelfde is als {x}, klopt dat dan.

Is mijn redenering tot zover juist of maakt het 0 verhaal niet uit in deze.

Nu het volgende, hoe ga ik nu stapsgewijs te werk om dit te bewijzen? Dat wordt me niet duidelijker uit de reader.

[arie]

De bewering
{ {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) } = { {n} | n in N }
is onjuist, dit heb je met je tegenvoorbeeld aangetoond:
{0} is element van { {n} | n in N }
{0} is GEEN element van { {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) }
dus de 2 gegeven verzamelingen zijn niet gelijk aan elkaar.
Normaliter volstaat dit.

Je kan eventueel nog verder uitwerken:
{ {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) }
= { {x,y} | x, y in N+, x^2 = y^2 }
(want x ongelijk 0 EN y ongelijk 0)
= { {x,y} | x, y in N+, x = y }
(want x>0 EN y>0)
= { {x,x} | x in N+}
(want x=y)
= { {x} | x in N+}
(definitie verzamelingenleer)

en dit laatste is ongelijk aan
{ {x} | x in N}

[pppp]

Thanks voor je toelichting, fijn om te zien dat ik wel een beetje op de goede weg zit