Mij is gevraagd of { {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) } = { {n} | n in N } klopt.
Ik denk dat dit niet klopt, want { {n} | n in N } laat ruimte over voor de 0.
De 0 kan je in principe in de eerste 'vergelijking' niet invullen, omdat de voorwaarde is dat x en y uit N+ komen, anders kun je te maken krijgen met een 0-deling.
Als er zou hebben gestaan { {n} | n in N+ }, dan zou het wel kloppen. Als x/y gelijk moet zijn aan y/x, dan betekent dat dat x en y hetzelfde getal moeten voorstellen. Aangezien {x,x} hetzelfde is als {x}, klopt dat dan.
Is mijn redenering tot zover juist of maakt het 0 verhaal niet uit in deze.
Nu het volgende, hoe ga ik nu stapsgewijs te werk om dit te bewijzen? Dat wordt me niet duidelijker uit de reader.
Verzamelingenleer, bewering bewijzen
Re: Verzamelingenleer, bewering bewijzen
De bewering
{ {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) } = { {n} | n in N }
is onjuist, dit heb je met je tegenvoorbeeld aangetoond:
{0} is element van { {n} | n in N }
{0} is GEEN element van { {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) }
dus de 2 gegeven verzamelingen zijn niet gelijk aan elkaar.
Normaliter volstaat dit.
Je kan eventueel nog verder uitwerken:
{ {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) }
= { {x,y} | x, y in N+, x^2 = y^2 }
(want x ongelijk 0 EN y ongelijk 0)
= { {x,y} | x, y in N+, x = y }
(want x>0 EN y>0)
= { {x,x} | x in N+}
(want x=y)
= { {x} | x in N+}
(definitie verzamelingenleer)
en dit laatste is ongelijk aan
{ {x} | x in N}
{ {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) } = { {n} | n in N }
is onjuist, dit heb je met je tegenvoorbeeld aangetoond:
{0} is element van { {n} | n in N }
{0} is GEEN element van { {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) }
dus de 2 gegeven verzamelingen zijn niet gelijk aan elkaar.
Normaliter volstaat dit.
Je kan eventueel nog verder uitwerken:
{ {x,y} | x, y in N+, (x/y) = (y/x) }
= { {x,y} | x, y in N+, x^2 = y^2 }
(want x ongelijk 0 EN y ongelijk 0)
= { {x,y} | x, y in N+, x = y }
(want x>0 EN y>0)
= { {x,x} | x in N+}
(want x=y)
= { {x} | x in N+}
(definitie verzamelingenleer)
en dit laatste is ongelijk aan
{ {x} | x in N}
Re: Verzamelingenleer, bewering bewijzen
Thanks voor je toelichting, fijn om te zien dat ik wel een beetje op de goede weg zit