Equivalentieklasse

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Equivalentieklasse

Bericht door pppp » 05 feb 2011, 12:58

Ik heb wat moeite met m'n begripsvorming rond equivalentieklassen.
Ik zou hier graag mijn gedachtengang willen laten zien, met als vraag of jullie er op- en/of aanmerkingen over zouden kunnen plaatsen.
Def: Voor elke a uit S stelt [a] de verzameling elementen voor uit een verzameling S waaraan a gerelateerd is onder de relatie R. [a] = { x | <a, x> in R }.
Dit betekent dus dat, bijvoorbeeld, de klasse [a] alle elementen bevat die equivalent zijn aan a.
Stel: S = { a, b, c, d }.
Als: R = { <a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, c> }, dan zijn er 2 equivalentieklassen, namelijk: [a] = {a, b} en [c] = {c}. S/R = { [a], }

Als: R = { <a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d> }, dan zijn er 4 equivalentieklassen, namelijk: [a] = {a}, = {b}, [c] = {c}, [d] = {d}. S/R = {[a], , [c], [d]}

Als: R = { <a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d>, <a, c>, <c, a> }, dan zijn er 4 equivalentieklassen, namelijk: [a] = {a, c}, = {b}, [c] = {c, a}, [d] = {d}. Dan geldt dat [a] = [c]. S/R = {[a], , [d]} OF S/R={, [c], [d]}

Klopt dit?

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Equivalentieklasse

Bericht door Sjoerd Job » 05 feb 2011, 21:22

pppp schreef:Ik heb wat moeite met m'n begripsvorming rond equivalentieklassen.
Ik zou hier graag mijn gedachtengang willen laten zien, met als vraag of jullie er op- en/of aanmerkingen over zouden kunnen plaatsen.
Def: Voor elke a uit S stelt [a] de verzameling elementen voor uit een verzameling S waaraan a gerelateerd is onder de relatie R. [a] = { x | <a, x> in R }.
Dit betekent dus dat, bijvoorbeeld, de klasse [a] alle elementen bevat die equivalent zijn aan a.
Stel: S = { a, b, c, d }.
Als: R = { <a, a>, <a, b>, <b, a>, <c, c> }, dan zijn er 2 equivalentieklassen, namelijk: [a] = {a, b} en [c] = {c}. S/R = { [a], }

R is hier geen equivalentie relatie (op S). Namelijk, <b,b> en <d,d> zitten er niet in. Als je deze toevoegd, kom je op 3 eq. klassen. (Ga na!)
Als: R = { <a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d> }, dan zijn er 4 equivalentieklassen, namelijk: [a] = {a}, = {b}, [c] = {c}, [d] = {d}. S/R = {[a], , [c], [d]}

Als: R = { <a, a>, <b, b>, <c, c>, <d, d>, <a, c>, <c, a> }, dan zijn er 4 equivalentieklassen, namelijk: [a] = {a, c}, = {b}, [c] = {c, a}, [d] = {d}. Dan geldt dat [a] = [c]. S/R = {[a], , [d]} OF S/R={, [c], [d]}

Klopt dit?

Bij de laatste, omdat [a] = [c],, is {[a],,[d]} hetzelfde als {,[c],[d]}... in principe ook hetzelfde als {[a],,[c],[d]} (net als dat {1,2,1,3} = {1,2,3} = {2,1,3} = {1,1,1,3,1,1,2,2,3,3,3}
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

Plaats reactie