Soorten relaties

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Plaats reactie
pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Soorten relaties

Bericht door pppp » 08 feb 2011, 17:03

Tijdens wat oefenen kwam ik deze vraag tegen:
R, S en T zijn relaties op A = { 1,2,3 }
R = {<1,1>, <2,2>, <3,3>}, S = {<1,2>, <2,1>, <3, 3>} en T = {<1,2>, <2,3>,<1,3>}
Bepaal welke van deze verzamelingen
a) reflexief, b) symmetrisch, c) antisymmetrisch en d) transitief zijn.

Ik dacht zelf aan het volgende:
Reflexief: alleen R
Symmetrisch: R en S
Antisymmetrisch: R
en Transitief: T

Nu blijkt, echter T ook antisymmetrisch te zijn en R ook transitief. Ik zie dit echt niet, beter kan ik het niet onder woorden brengen. Hoe kan R transitief zijn als er, m.i. helemaal geen relatie is dit voldoet aan AxAyAz((xRy & yRz) -> zRz)?
Ik kan ook zo geen antisymmetrie ontdekken in T. Iemand die mij hier iets meer over kan vertellen?

Gelijksoortige problemen ondervind ik met de volgende opdracht:
Bepaal van de volgende relaties:
1) x > y
2) xy is een kwadraat
3) x + y = 10
4) x + 4y = 10
Of deze reflexief, symmetrisch, antisymmetrisch en/of transitief zijn.
Van 1 kan ik zo zeggen dat:
* deze niet reflexief is (het correcte woord hiervoor is toch irreflexief?), want: x is niet groter dan x en y is niet groter dan y.
* deze niet symmetrisch is, want x > y is niet hetzelfde als y > x
* deze niet antisymmetrisch is, om dezelfde reden + x is niet gelijk aan y
* deze transitief is, want als x > y en y > z, dan is x > z
Van 2 kan ik al wat minder zeggen en bij 3 en 4 val ik een beetje stil. Ik heb dus blijkbaar moeite met het ondescheiden van bepaalde eigenschappen bij bepaalde relaties.
Kan iemand me hier wat handige tips bij geven?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Soorten relaties

Bericht door SafeX » 08 feb 2011, 21:26

Bekijk R: Wanneer is R transitief? Laat je definitie er op los, wat is die definitie?

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Soorten relaties

Bericht door Sjoerd Job » 08 feb 2011, 22:26

pppp schreef: 1) x > y

Van 1 kan ik zo zeggen dat:
* deze niet reflexief is (het correcte woord hiervoor is toch irreflexief?), want: x is niet groter dan x en y is niet groter dan y.
* deze niet symmetrisch is, want x > y is niet hetzelfde als y > x
* deze niet antisymmetrisch is, om dezelfde reden + x is niet gelijk aan y
* deze transitief is, want als x > y en y > z, dan is x > z
Van 2 kan ik al wat minder zeggen en bij 3 en 4 val ik een beetje stil. Ik heb dus blijkbaar moeite met het ondescheiden van bepaalde eigenschappen bij bepaalde relaties.
Kan iemand me hier wat handige tips bij geven?
Even een aantal punten: (Als iets niet waar is, laat met een concreet voorbeeld zien waarom niet.)
* Niet reflectief: is niet waar.
* Niet symmetrisch. Bijvoorbeeld 2 > 1, maar niet 1 > 2.
* Wel antisymmerisch. Voor elke en met en geldt uiteraard . (Net als dat elk priemgetal dat een veelvoud van 30 is, ook een veelvoud van 23 is, of dat elk priemgetal dat een veelvoud van 30 is, ook een veelvoud van 3 is.). Ik moet erkennen dat dit te maken heeft met het `voor alle', en de implicatie in . Omdat het linkerlid van nooit waar is, is " altijd waar.
* Wel transitief. Goed gezien.

Probeer voor 2 en 3 ook alle eigenschappen te bespreken. De oefeningen zijn er om te oefenen. Verbaas je niet als iets niet meteen lukt, blijf oefenen, om zo je inzicht te vergroten.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: Soorten relaties

Bericht door pppp » 09 feb 2011, 17:06

SafeX schreef:Bekijk R: Wanneer is R transitief? Laat je definitie er op los, wat is die definitie?
Voor elke x,y,z geldt dat als xRy en yRz, dan xRz.
* Wel antisymmerisch. Voor elke en met en geldt uiteraard
Dat klopt niet, >= is echter wel antisymmetrisch, want als a >= b en b >=a dan a=b.
Ik ken de definities verder wel, maar ik zie niet hoe ik die op een dergelijke opgave moet toepassen.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Soorten relaties

Bericht door SafeX » 09 feb 2011, 17:45

pppp schreef:
SafeX schreef:Bekijk R: Wanneer is R transitief? Laat je definitie er op los, wat is die definitie?
Voor elke x,y,z geldt dat als xRy en yRz, dan xRz.
En nu toepassen op R.

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: Soorten relaties

Bericht door pppp » 09 feb 2011, 18:01

Ja, maar hoe? Zoals gezegd:
Hoe kan R transitief zijn als er, m.i. helemaal geen relatie is dit voldoet aan AxAyAz((xRy & yRz) -> xRz)?
, zie ik die relatie niet, eerlijk gezegd. Om transitief te zijn als relatie zit ik met m'n gedachten meer bij iets als {<1,2>, <2,3>}.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Soorten relaties

Bericht door SafeX » 09 feb 2011, 18:16

Wat denk je van: (1,1) en (1,1) geeft (1,1)?

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: Soorten relaties

Bericht door pppp » 09 feb 2011, 18:29

Hehe, oke, zo had ik het nog niet bekeken inderdaad :lol:

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Soorten relaties

Bericht door SafeX » 09 feb 2011, 18:33

Heb ik je 'zichtveld' verruimt?

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Soorten relaties

Bericht door Sjoerd Job » 10 feb 2011, 10:21

pppp schreef:
SafeX schreef:Bekijk R: Wanneer is R transitief? Laat je definitie er op los, wat is die definitie?
Voor elke x,y,z geldt dat als xRy en yRz, dan xRz.
* Wel antisymmerisch. Voor elke en met en geldt uiteraard
Dat klopt niet, >= is echter wel antisymmetrisch, want als a >= b en b >=a dan a=b.
Ik ken de definities verder wel, maar ik zie niet hoe ik die op een dergelijke opgave moet toepassen.
Zeker, >= is ook antisymmetrisch. Maar, > ook. Namelijk, ALS x > y en y > x, dan geldt zeker ook x = y. Het is alleen onzin om te zeggen x > y en y > x.

Dit heeft vooral te maken met de tabel voor "=>"



Omdat P nooit waar is, is altijd waar.

Dit is het zelfde als dat alle vierkante cirkels driehoekig zijn. Er zijn geen vierkante cirkels, dus is elke vierkante cirkel driehoekig.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: Soorten relaties

Bericht door pppp » 10 feb 2011, 18:34

[quote]
Heb ik je 'zichtveld' verruimt?
[/]
Ja, en het is ook wel logisch, anders zou R={<1,1>} nooit een equivalentierelatie kunnen zijn.
toch? :lol:

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: Soorten relaties

Bericht door pppp » 12 feb 2011, 12:22

Wat ik me eigenlijk ook nog afvraag; is R={<1,1>, <1,2>, <2,1>} dan ook transitief bij de gratie van het paar <1,1>? Ze is in ieder geval wel symmetrisch en reflexief, toch?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Soorten relaties

Bericht door SafeX » 12 feb 2011, 14:52

Ja, hoor. Maar waarom vraag je je dit af? Je kan het toch aantonen.

pppp
Vast lid
Vast lid
Berichten: 96
Lid geworden op: 13 apr 2010, 20:17

Re: Soorten relaties

Bericht door pppp » 12 feb 2011, 16:08

Aantonen? Hoe bedoel je precies? En klopt de uitspraak over reflexiviteit wel? Moet <2,2> dan ook geen onderdeel van de relatie zijn?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Soorten relaties

Bericht door SafeX » 12 feb 2011, 16:15

Ja, dat klopt. Voor reflexief en transitief is (2,2) nodig.

Plaats reactie