Logaritmen

[Roy8888]

Hallo,

Ik ben bezig met het hoofdstuk logaritmen.
Er staat dat de voorwaarden voor het werken met
Logaritmen is: g>0 , g ongelijk 1 en a>0

Maar als ik nu deze opgave heb bijv.
-2 log 4 dan is de uitkomst toch 2, want (-2)^2 =4 of niet?

[David]

Wat zijn g en a in je definitie? Die kan zo nog specifieker.
Je bedoelt
?

Code: Selecteer alles

[tex]^{-2}\log(4)[/tex]

Toch niet, het is niet reëel, maar beperkt je liever tot g > 0 en g<>1, a>0

[Roy8888]

De opgave is zoals je hem opschrijft ( kan niet overweg met dat latex)
Maar als je dat zo invult dan zou je in dat geval toch 2 uit moeten krijgen ?

[David]

.
Nu is a negatief, g positief. En nu?

[SafeX]

Logaritmen is: g>0 , g ongelijk 1 en a>0

Is dit niet besproken in je boek ...


Dit is een functie die voor alle reële x bestaat. Denk daar eens over na ...
Bv: (-2)^x bestaat dit voor alle reële x?

[Roy8888]

Dit bestaat niet voor alle reële x.

In het boek hebben ze de voorwaarden besproken door een aantal
Voorbeelden.
Bijv: ^-2 log 8=x die x bestaat niet.
Maar ik dacht ^-2 log 4 =x bestaat wel want x=2

[David]

We kunnen dan wel bepalen als je wilt.. maar dat gaat misschien wel verder dan de stof.

[Roy8888]

Nee doe dat nog maar even niet , gaat mss wat te ver idd.
Maar wat ik eigenlijk bedoel te zeggen is:
In het boek geven ze een aantal voorwaarden : g>0, g ongelijk 1 en a>0
maar als je dan dus ^-2log 4 hebt is dat 2.
Dus die voorwaarden gelden niet altijd?

[David]

Voordat ik aan logaritmen begon, leerde mijn docent me dat we alleen f(x) = a^x zouden onderzoeken, als a >= 0, om de reden die SafeX gaf.

Je kan x in kan je bepalen door onder de gegeven voorwaarden voor g en a.
Probeer bijv. eens x te bepalen door 1^x = 5. Hoezo lukt dat niet?

[Roy8888]

1^x = 5 lukt niet omdat voor geen enkele x waarde geldt dat de uikomst 5 wordt.

Maar ik geloof ook wel dat dat de voorwaarden zijn waar je je aan moet houden. Alleen vind ik het raar dat dat een voorwaarde is die niet altijd geldt.

[David]

Maar je kan x wel bepalen zodat (-2)^x = 4, alleen, zoals je het nu leert, niet met logaritmen, omdat niet aan alle voorwaarden voor g en a wordt voldaan.
Doorgaans zou je g^x = a voor x oplossen door logaritmen. Nu niet; nu door inspectie.

[Roy8888]

Ok,
Dus gewoon aanhouden dat je een logaritme alleen kunt bepalen als je aan de voorwaarden voldoet anders niet.

[David]

Ja, dat zou ik voor nu zeker doen. Als het goed is, geeft dat tijdens het maken van opgaven geen probleem; het boek is daarop geschreven.

[Roy8888]

Nee dat zal ook geen probleem geven tot nu toe heb ik alle opgave goed.
Kijken of de rest ook lukt

[SafeX]

1^x = 5 lukt niet omdat voor geen enkele x waarde geldt dat de uikomst 5 wordt.

Maar ik geloof ook wel dat dat de voorwaarden zijn waar je je aan moet houden. Alleen vind ik het raar dat dat een voorwaarde is die niet altijd geldt.

Wat bedoel je hier eigenlijk ...
Je moet bedenken (zoals ik eerder aangaf) dat je een functie construeert voor de exponent van de functie f(x)=a^x met de voorwaarde a>0.
Eigenlijk wil je de inverse van deze functie bepalen:

Dit kan omdat f een 1-1-functie is, wat niet anders wil zeggen dan dat bij elke x hoort een y maar omgekeerd bij elke y hoort precies één x. Zo'n functie (relatie) noemen we bijectief.
Nu moet je ook kunnen begrijpen dat a=1 wel een functie oplevert maar dat er geen inverse bestaat (waarom niet?).
Dus die inverse functie bestaat en die functie krijgt de naam logaritme.

Al deze overwegingen leiden tot beperking van de waarden van a bij die inverse functie, de logaritme.
Deze functie is een 'nette' functie, dwz is continu maar sterker differentieerbaar. De grafiek is 'smooth'.

Dit is een heel verhaal maar zal regelmatig terugkomen met andere functies vandaar het belang.