Kruisende rechten

Het forum voor overige vragen betreffende wiskunde uit het hoger onderwijs.
Kinu
Moderator
Moderator
Berichten: 1144
Lid geworden op: 22 okt 2010, 15:38

Kruisende rechten

Bericht door Kinu » 13 apr 2013, 09:53

Ik heb een opdracht i.v.m homogene en Plucker coordinaten die ik moet oplossen, maar ik heb een bevestiging nodig.

1.
Stel gegeven de rechten p=(1:3:-2:5:-1:1)[/tex] en q=(5:-1:1:1:3:-2)[/tex] in Plucker coodinaten. Bewijs dat deze rechten kruisend zijn en bewijs dat geen van beiden het punt bevat.

Om aan te tonen dat en niet kruisend zijn lijkt het mij voldoende om aan te tonen dat ze niet evenwijdig zijn en ook geen snijpunt gemeenschappelijk hebben.

(a) In de Plucker voorstelling van een rechte kan de richting rechtstreeks afgelezen worden, nl. de eerste 3 coordinaten. Aangezien deze geen veelvoud van elkaar zijn lijkt het mij dat de rechten niet evenwijdig zijn.

(b) Om aan te tonen dat ze geen snijpunt hebben lijkt mij het beste om uit het ongerijmde te doen.
Stel dat , i.e stel dat ze wel een snijpunt hebben. Dan moet er gelden vanwege de definitie van Plucker coordinaten van een rechte dat moet voldaan zijn aan het volgende stelsel


Hierbij is de richting van met moment en de richting van met moment .

Aangezien en kunnen we het stelsel schrijven als:
en na substitutie van vgl (1) in vgl (2) krijgen we

Het probleem is het volgende. Het vectorieel product is over het algemeen niet associatief, maar het wegde product wel. Ik denk dat in de cursus hier het wedge product bedoeld wordt met , omdat in de cursus de notatie en door elkaar gebruikt wordt. In dat geval ben ik hier klaar want ik bekom een contradictie. Aangezien kan het linkerlid nooit gelijk zijn aan het rechterlid. Bijgevolg is de enige veronderstelling die ik gemaakt heb, nl. dat ze een snijpunt hebben, fout.

Voor de 2de vraag heb ik een idee, maar ik ben niet zeker of het goed is. Een rechte wordt bepaald door 2 punten dus stel dat bepaald wordt door de punten en dan wordt de Plucker voorstelling van de rechte door en bekomen door de verschillende minoren uit te rekenen van


Als we nu bijvoorbeeld naar de minor kijken dan is deze gelijk aan 0, maar dan zou volgens de gegeven vergelijking van moeten gelden dat . Contradictie!

Analoog voor .

Is dit de goeie manier?

Plaats reactie