Bewijs door inductie

[kevindp]

Dag iedereen,

voor een toets moet ik het volgende kunnen bewijzen :
1^4 + 2^4 + ... + n^4 = (1/30) * n * (n+1) * (2n+1) * (3 (n^2) + 3n - 1)

Ik zou dit bewijzen dmv inductie. De eerste stap (voor n = 1) klopt. Maar bij de tweede stap zit ik vast (stel n = k dan klopt de stelling ook voor n = k + 1).

In de tweede stap heb ik wat er rechts van het gelijkheidsteken staat uitgewerkt. Ik heb alles waar een n in stond uitgewerkt tot 1 grote term.
(1/30) * n * (n+1) * (2n+1) * (3 (n^2) + 3n - 1) = (1/30) * ( 6 (n^6) + 9 (n^5) + 9 (n^4) + 7 (n^3) - n)

Ik kan nu elke n vervangen door k + 1, maar dan heb ik nog altijd niet hetzelfde dan wat er links van het gelijkheidsteken staat. Iemand die een idee heeft wat ik nu moet doen om hetzelfde te bekomen als links?

Alvast bedankt,
Kevin

[arno]

Ga eens uit van en bepaal daarmee .

[kevindp]

Moet ik dan het linkerlid of het rechterlid proberen uitwerken? Want als ik me niet vergis, wilt hij dat we altijd maar in 1 lid werken. En ik zie niet goed hoe ik achter k^4 nog + (k+1)^4 kan krijgen.
Of gaat dit enkel door aan de twee kanten bewerkingen uit te Voeren?

Alvast bedankt

EDIT : Ik heb ook geprobeerd om het rechterlid uit te werken door alles te vermenigvuldigen buiten (k + 1). Maar Dan bekom ik (k + 1) * 6 k^11 + 30 k^10 + 61 k^9 + .... Maar ik denk niet dat ik hiermee er kan geraken.

[SafeX]

Ik zou dit bewijzen dmv inductie.

Betekent dit dat je het zo wil bewijzen? Zo ja, wat moet je dan doen ...

[kevindp]

Dat doe ik toch, mijn eerste stap was kijken of het klopt voor n = 1, wat effectief klopt. En dan bewijzen voor n = k + 1. Maar daar zit ik vast..

[SafeX]

Je bent niet volledig ...
In de tweede stap bewijs je de gelijkheid voor n=k+1 gegeven de juistheid van de verg voor n=k.
Is de bovenstaande zin duidelijk? Zo ja, hoe begin je dus ...

[kevindp]

Door overal n te vervangen door k + 1 en dan heb ik de distributiviteit uitgewerkt

[SafeX]

Door overal n te vervangen door k + 1 en dan heb ik de distributiviteit uitgewerkt

Geen idee wat je bedoelt, jij wel?



Bedoel je dit? Zo ja, waarom schrijf je dat dan niet op?
Zo nee, ben je het eens met wat er staat, klopt dit met:

In de tweede stap bewijs je de gelijkheid voor n=k+1 gegeven de juistheid van de verg voor n=k.

Zo ja, waar moet dit dan gelijk aan zijn ...

[kevindp]

Wat je hebt opgeschreven heb ik gisteren geprobeerd op een blad papier en ben er niet toegekomen. Ik ben vertrokken vanuit dezelfde formule dan je hier hebt opgeschreven. En ik heb in het rechterlid alles vermenigvuldigt, dus eerst k met (k + 1) vermenigvuldigt, dan het resultaat daarvan (k^2 k) vermenigvuldigt met (2k + 1) enzovoort tot alles was uitgewerkt. Maar dan zat ik vast. Ik heb ook geprobeerd om alles uit te werken behalve (k + 1)/30 maar dat leverde ook niets op

[SafeX]

Ok, we gaan verder:

Weet je wat termen zijn (zo niet kijk bij Tutorials: Termen en factoren)?
Welke termen staan er? Kan je gelijknamige factoren buiten haakjes halen? Zo ja, doen.
Extra: haal ook 1/30 buiten haakjes. (weet je ook waarom?)

[David]

Alternatieve methode:
Laat zien dat de som een 5-de graads polynoom geeft.
Gebruik dan dat een 5-de graads polynoom wordt gedefineerd door 6 verschillende punten. (gebruik inspectie voor 6 waarden van n). Wat is het domein van n?