reken maar

Heb je een leuke tutorial, een duidelijke uitleg van een bepaald onderwerp, een interessante minicursus of heb je een leuk trucje gevonden, post het hier.
Plaats reactie
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4935
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

reken maar

Bericht door David » 02 dec 2009, 17:02

Hallo allemaal,

Hier misschien een hulpmiddel om eenvoudiger de reeks 5^n en 6^n te berekenen
Ik begin maar met n=2 en verder.
n 2 3 4 5 6
5^n 25 125 625 3125 15625
als je bij al die getallen 25 weghaalt (ofwel (5^n-25)/100, krijg je de volgende reeks
n 2 3 4 5 6
(5^n-25)/100 0 1 6 31 156
In deze reeks kan je de recursieve formule
u(n)=5u(n-1)+1 en de directe formule (5^(n-2)-1)/4
als je dan zo de volgende uitkomst uitrekent, en je zet er 25 achter (ofwel * 100 en dan + 25 krijg je weer 5^n. 156*5+1=781. 25 erachter levert 5^7=78125 (dit klopt ook voor 5^0 en 5^1

Dan maar 6^n
eigenlijk een beetje hetzelfde idee,
n 1 2 3 4 5
6^n 6 36 216 1296 7776
Hier alleen de 6 weghalen ofwel (6^n-6)/10 levert:
n 1 2 3 4 5
(6^n-6)/10 0 3 21 129 777
Ook hier weer een recursieve formule: u(n)=6u(n-1)+3
en de directe formule 0.6(6^(n-1)-1)
als je nu 6^6 wilt uitrekenen, 777*6+3 en dan een 6 erachter (*10+6) levert 6^6=46656
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1797
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: reken maar

Bericht door arno » 02 dec 2009, 18:53

Even een opmerking met betrekking tot de terminologie: je hebt hier te maken met een rij en niet met een reeks. Een reeks is namelijk de som van de termen van een rij.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

tsagld
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 341
Lid geworden op: 23 mar 2009, 12:07
Contacteer:

Re: reken maar

Bericht door tsagld » 03 dec 2009, 11:42

Leuk bedacht. Maar eigenlijk moet je nog wel even bewijzen dat de recursie formules voor alle n opgaan.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4935
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: reken maar

Bericht door David » 03 dec 2009, 16:05

Hallo,

Arno, bedankt voor de extra informatie, zal het evt meenemen waar nodig in volgende posts
Tsagld, dank je voor het compliment. voor het opstellen van de formules ben ik begonnen met het opstellen van de recursieve formule, daarna heb ik de directe formule opgesteld. voor het opstellen van de directe formule ben ik: uitgegaan van:
recursief: u(n)=a*u(n-1)+b met u(d)=c (u(d) omdat ik niet met u(0) begon, dus maar een letter zette)
direct: u(n)= c*a^(n-d)+b(a^(n-d))/(a-1).

Voor 5^n:

De directe formule kan ik wel bewijzen, om 5^n te vinden moest je vermenigvuldigen met 100 en dan 25 optellen.
((5^(n-2)-1)/4)*100+25=
(5^(n-2)-1)*25+25=
5^(n-2)*5^2-25+25= (25=5^2)
5^n (x^m*x^n=x^(m+n) n-2+2=n
in deze formule, de a=5, b=1, c=0, d=2
levert recursief: u(n)=5u(n-1)+1 met u(2)=0, (u(0)=-0.24 mocht dat nodig zijn)

Voor 6^n:

om 6^n te vinden, moest je vermenigvuldigen met 10 en dan 6 optellen.
0.6(6^(n-1)-1)*10+6=
6(6^(n-1)-1)+6=
6^(n-1)*6^1-6+6=
6^n

0.6(6^(n-1)-1)=3(6^(n-1)-1)/5
a=6, b=3, c=0 d=1 levert recursieve formule
u(n)=6*u(n-1)+3 met u(1)=0 (u(0)=-0.5)

recursief: u(n)=a*u(n-1)+b met u(d)=c
direct: u(n)= c*a^(n-d)+b(a^(n-d))/(a-1).
Daar kwam ik aan door te stellen
u(0)=0 u(1)=b u(2)=ab+b u(3)=a^2*b+ab+b enz enz.
daarin kan je herkennen b(a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1)=b(a^(n+1)-1)/(a-1)
als je u(0)=c stelt, moet je bij b(a^n-1)/(a-1), c*a^n optellen, dus
b(a^n-1)/(a-1)+c*a^n. als je u(d) toepast, wordt je grafiek/tabel verschoven, d naar rechts, dan moet je bij de variabele n, d eraf halen, dus translatie n wordt n-d (weet niet precies meer hoe je translatie formuleert)

Weet niet precies of het zo een goed bewijs of toelichting is, maar helemaal "wiskundig verantwoord" kan ik het niet aantonen, hoop dat dit volstaat...
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie